Généralités sur les fonctions
Exercice 5
Dans cet exercice, toutes les distances sont exprimées en km.
Un avion part de l'aérodrome situé en A, puis il monte en ligne droite jusqu'à 5 km de hauteur. Il atteint alors un point qu'on appelle M. Puis il redescend en ligne droite
se poser sur l'aérodrome situé en B.
Les aérodromes A et B sont situés à 20 km l'un de l'autre.
Le pilote veut parcourir une distance exactement égale à 23 km.
Il se demande où se situe alors le point M.
1.a. Soit H le pied de la hauteur du triangle ABM.
On pose: $AH=x$. On suppose par la suite que H est situé sur le segment [AB]. Le nombre $x$ appartient donc à l'intervalle $[0;20]$.
Exprimer la distance AM en fonction de $x$.
1.b. Exprimer la distance BM en fonction de $x$.
1.c. Soit $f(x)$ la distance totale parcourue par l'avion.
Montrer que $f(x)=√{x^2+25}+√{(20-x)^2+25}$.
2.a. Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant:
Les valeurs seront arrondies à 0,01 près.
2.b. Soit $\C_f$ la courbe représentative de $f$.
Tracer $\C_f$ pour $x$ dans l'intervalle $[0;20]$. (Echelles: 0,5 cm sur l'axe des abscisses, 2cm sur l'axe des ordonnées.
L'axe des ordonnées sera gradué à partir de 22.)
3. Déterminer graphiquement pour quelle(s) valeur(s) de $x$ la distance parcourue par l'avion est de 23 km.
Solution...
Corrigé
D'après l'énoncé, il est clair que $AB=20$ et que $HM=5$.
1.a. H est le pied de la hauteur du triangle ABM.
Donc le triangle AHM est rectangle en H.
Donc $AM^2=AH^2+HM^2$ (d'après le théorème de Pythagore).
Soit: $AM^2=x^2+5^2=x^2+25$.
Et, comme AM est positif (car c'est une distance), on en déduit que: $AM=√{x^2+25}$.
1.b. H est situé sur le segment [AB].
Donc $HB=AB-AH$.
Soit: $HB=20-x$.
Et, en procédant comme ci-dessus dans le triangle BHM, on obtient:
$BM=√{(20-x)^2+25}$.
1.c. On a: $f(x)=AM+MB$
Soit: $f(x)=√{x^2+25}+√{(20-x)^2+25}$.
2.a. Tableau de valeurs:
Pour remplir un tel tableau, il est possible de calculer chaque image séparément. Mais il est beaucoup plus rapide d'utiliser le menu TABL ou TABLE de sa calculatrice,
2.b. $\C_f$ est tracée ci-dessous.
3. Graphiquement, $f(x)=23$ $⇔$ $x≈4,5$ ou $x≈15,5$.
Donc la distance parcourue par l'avion est d'environ 23 km si et seulement si $x≈4,5$ km ou $x≈15,5$ km.