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Généralités sur les fonctions

Exercice 6

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-2√{x}+2$ sur l'intervalle $[0;4]$.
Cette fonction admet le tableau de variation suivant:
fig15
Le programme suivant est écrit en langage Python.
fig16

  1. Donner les valeurs successives prises par les variables b, im1 et im2.

  2. Quel est l'utilité d'un tel programme?

  3. A l'aide d'un ordinateur, faites fonctionner ce programme avec delta=0,01. Quelles sont les valeurs affichées?


Solution...
Corrigé

  1. b=0    im1=f(0)=2    b=0+0,2=0,2   im2=f(0,2)$≈$1,45
    Comme im1>im2, on commence une première boucle
    im1$≈$1,45    b=0,2+0,2=0,4    im2=f(0,4)$≈$0,90
    Comme im1>im2, on commence une seconde boucle
    im1$≈$0,90    b=0,4+0,2=0,6    im2=f(0,6)$≈$0,81
    Comme im1>im2, on commence une troisième boucle
    im1$≈$0,81    b=0,6+0,2=0,8    im2=f(0,8)$≈$0,85
    Cette fois-ci, im1$≤$im2; les boucles s'arrêtent.
    b=0,8-0,2=0,6
    Il s'affiche la valeur de b, c'est à dire 0,6
    Il s'affiche l'image de b, c'est à dire environ 0,81.
    Si vous faites fonctionner ce programme sur votre ordinateur, vous noterez que la valeur affichée n'est pas 0,6 mais 0,6000000000000001.
    Cela est dû au fait que la plupart des nombres décimaux que vous donnez sont seulement approximés en fractions binaires pour être stockés dans la machine, ce qui génère donc des résultats souvent approximatifs.

  2. Un tel programme balaie les valeurs de $x$ à partir de 0 avec un pas de 0,2, et ce balayage continue tant que les images de ces $x$ diminuent.
    Or, d'après le tableau de variation donné, $f$ admet un minimum $f(x_m)$ atteint en $x_m$.
    Le but est donc de déterminer une approximation de $x_m$ et du minimum $f(x_m)$ par balayage. Ici, on obtient: f(0,4)>f(0,6) mais f(0,6)$≤$f(0,8).
    Donc $x_m$ est compris entre 0,4 et 0,8.
    0,6 est une valeur approchée de $x_m$ à 0,2 près.

  3. Si l'on fait fonctionner le programme à l'aide d'un ordinateur avec delta=0,01, les valeurs affichées nous donnent:
    $x_m≈0,63$     et     $f(x_m)≈0,809$
    0,63 est une valeur approchée de $x_m$ à 0,01 près.

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