Les Maths en Seconde

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Généralités sur les fonctions

Exercice 7

On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=x^2-2√{x}+2$ sur l'intervalle $[0;4]$.
Cette fonction admet le tableau de variation suivant:
fig15
Le programme suivant est écrit en langage Python.
fig17

  1. Donner les valeurs successives prises par les variables a, b, milieu, milg et mild.
    Il faut être patient! La boucle est parcourue 5 fois!

  2. Quel est l'utilité d'un tel programme?

  3. A l'aide d'un ordinateur, faites fonctionner ce programme avec delta=0,01. Que s'affiche-t-il à la fin de l'exécution?


Solution...
Corrigé

Pour comprendre la logique de cet algorithme, ne pas hésiter à observer les graphiques en bas de cette page!

  1. a=0    b=4    milieu=2   milg=1   mild=3

    b-a=4-0=4. Comme b-a>0,2, on commence une première boucle
    f(milg)=f(1)=1   f(milieu)=f(2)$≈$3,17
    on a: f(milg) < f(milieu)
    Cela signifie que $f$ n'est pas décroissante entre milg et milieu; donc $x_m$ est nécessairement entre a et milieu.
    b=2    milieu=1
    milg=(0+1)/2=0,5   mild=(1+2)/2=1,5

    b-a=2-0=2. Comme b-a>0,2, on commence une seconde boucle
    f(milg)=f(0,5)$≈$0,84    f(milieu)=f(1)=1
    on a: f(milg) < f(milieu)
    Cela signifie que $f$ n'est pas décroissante entre milg et milieu; donc $x_m$ est nécessairement entre a et milieu.
    b=1    milieu=0,5
    milg=(0+0,5)/2=0,25   mild=(0,5+1)/2=0,75

    b-a=1-0=1. Comme b-a>0,2, on commence une troisième boucle
    f(milg)=f(0,25)$≈$1,06    f(milieu)=f(0,5)$≈$0,84
    on n'a pas: f(milg) < f(milieu)
    Cela signifie que $f$ n'est pas croissante entre milg et milieu; donc $x_m$ est nécessairement supérieur à milg.
    f(mild)=f(0,75)$≈$0,83
    on a: f(mild) < f(milieu)
    Cela signifie que $f$ n'est pas croissante entre milieu et mild; donc $x_m$ est nécessairement entre milieu et b.
    a=0,5    milieu=0,75
    milg=(0,5+0,75)/2=0,625   mild=(0,75+1)/2=0,875

    b-a=1-0,5=0,5. Comme b-a>0,2, on commence une quatrième boucle
    f(milg)=f(0,625)$≈$0,81    f(milieu)=f(0,75)$≈$0,83
    on a: f(milg) < f(milieu)
    Cela signifie que $f$ n'est pas décroissante entre milg et milieu; donc $x_m$ est nécessairement entre a et milieu.
    b=0,75    milieu=0,625
    milg=(0,5+0,625)/2=0,5625   mild=(0,625+0,75)/2=0,6875

    b-a=0,75-0,5=0,25. Comme b-a>0,2, on commence une cinquième boucle
    f(milg)=f(0,5625)$≈$0,816    f(milieu)=f(0,625)$≈$0,809
    on n'a pas: f(milg) < f(milieu)
    Cela signifie que $f$ n'est pas croissante entre milg et milieu; donc $x_m$ est nécessairement supérieur à milg.
    f(mild)=f(0,6875)$≈$0,814
    on n'a pas: f(mild) < f(milieu)
    Cela signifie que $f$ n'est pas décroissante entre milieu et mild; donc $x_m$ est nécessairement entre milg et mild.
    a=0,5625   b=0,6875
    milg=(0,5625+0,625)/2=0,59375   mild=(0,625+0,6875)/2=0,65625

    b-a=0,6875-0,5625=0,125 Cette fois-ci, on n'a pas b-a>0,2; les boucles s'arrêtent.
    Il s'affiche: a=0,5625    b=0,6875

  2. D'après le tableau de variation donné, $f$ admet un minimum $f(x_m)$ atteint en $x_m$.
    Un tel programme permet de déterminer un encadrement du nombre $x_m$ d'amplitude inférieure ou égale à delta=0,2.
    Le nombre $x_m$ est toujours compris entre les valeurs des variables a et b du programme.
    $x_m$ est donc compris entre 0,5625 et 0,6875.
    Ce programme a procédé par dichotomie, c'est à dire qu'il a divisé l'intervalle de recherche par 2 à chaque boucle.
    Pour information, voici graphiquement les valeurs successives des variables sur les 4 premières boucles.
    Attention! L'échelle change à chaque graphique.
    Variables avant la première boucle:
    fig23
    Variables avant la seconde boucle:
    fig24
    Variables avant la troisième boucle:
    fig25
    Variables avant la quatrième boucle:
    fig26

  3. Si l'on fait fonctionner ce programme à l'aide d'un ordinateur avec delta=0,01, il s'affiche: a=0,625    b=0,6328125
    Le nombre $x_m$ est compris entre 0,625 et 0,6328125.

    En général, la recherche par dichotomie est plus efficace que la recherche par balayage vue dans l'exercice précédent.

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