Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Fonction Inverse

Exercice 1

  • Comparer, sans calcul, ${1}/{1,05}$ à ${1}/{1,06}$.
  • On suppose que $x>2$. Montrer que ${-5}/{x}>-2,5$. Montrer que ${-5}/{x}<0$.
  • On suppose que $x>5$. Montrer que $0<{1}/{x-3}<0,5$.

Solution...
Corrigé
  • On sait que $1,05<1,06$.
    Donc, comme la fonction inverse est strictement décroissante pour $x>0$, on a: ${1}/{1,05}>{1}/{1,06}$.
    A retenir:
    La fonction inverse est strictement décroissante pour $x>0$. Elle est également strictement décroissante pour $x<0$.
    Donc les inverses de 2 nombres strictement positifs ou de 2 nombres strictement négatifs sont dans l'ordre inverse des 2 nombres en question.


  • On sait que $x>2$.
    Donc, comme la fonction inverse est strictement décroissante pour $x>0$, on a: ${1}/{x}<{1}/{2}$.
    Soit: ${1}/{x}<0,5$.
    Et donc, comme $-5<0$, on obtient: ${-5}/{x}>-5×0,5$.
    A retenir:
    Quand on multiplie les 2 membres d'une inégalité par un nombre strictement négatif, l'inégalité change de sens.

    On a finalement: ${-5}/{x}>-2,5$.

    Par ailleurs, comme $x>2$, il est strictement positif. Et comme $-5$ est strictement négatif, le quotient ${-5}/{x}$ est également strictement négatif.
    Donc, on obtient bien la seconde inégalité demandée: ${-5}/{x}<0$.

  • On sait que $x>5$.
    Donc: $x-3>5-3$.
    Soit: $x-3>2$.
    Donc, comme la fonction inverse est strictement décroissante sur $]0;+\∞[$, on a: ${1}/{x-3}<{1}/{2}$.
    Soit: ${1}/{x-3}<0,5$.
    Par ailleurs, comme $x-3>2$, le nombre $x-3$ est strictement positif. Et donc son inverse ${1}/{x-3$ est également strictement positif.
    Donc, on a bien: $0<{1}/{x-3}$.
    Donc finalement, on a bien l'encadrement demandé: $0<{1}/{x-3}<0,5$.
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