Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Nombres et calculs

Exercice 1

Quelques mises au point avant de commencer!
Chacun sait reconnaître un entier naturel ou relatif.
Voici quelques pistes pour reconnaître décimaux, rationnels et réels.

  • Un nombre est décimal si et seulement si il peut s'écrire sous la forme ${p}/{10^n}$  , où $p$ est un entier relatif, et où $n$ est un entier naturel.
    Dans la pratique, cela signifie qu'un nombre est décimal si et seulement si l'on peut l'écrire sous forme décimale avec un nombre fini de décimales.
  • Un nombre est rationnel si et seulement si il peut s'écrire sous la forme ${p}/{q}$, où $p$ et $q$ sont des entiers relatifs.
    Pour savoir si un nombre rationnel est décimal, on utilise souvent la propriété suivante.
    Un nombre rationnel non nul, écrit sous la forme d’une fraction irréductible d'entiers ${p}/{q}$ , est un nombre décimal si et seulement si $q= 2^m5^n$ avec $m∈N$ et $n∈N$.
    Dans la pratique, un nombre rationnel n'est pas décimal si et seulement si il est impossible de l'écrire sous forme décimale avec un nombre fini de décimales.
    La caractère non décimal d'un nombre peut donc se conjecturer à l'aide d'une calculatrice, mais on rappelle qu'une conjecture n'est qu'une hypothèse!
  • Un nombre réel qui n'est pas rationnel s'appelle un irrationnel.
    Par exemple, $π$ est irrationnel.
    Par exemple, si un entier naturel n'est pas un carré d'entier, alors sa racine carrée est irrationnelle.
    On peut conjecturer le caractère irrationnel d'un réel à l'aide de la calculatrice grâce à la propriété suivante.
    Un nombre est irrationnel si et seulement si son développement décimal n'est pas périodique.


1. Aucune justification n'est demandée dans cette question.
On considère les ensembles de nombres: $ℕ$, $ℤ$, $\D$, $ℚ$ et $ℝ$.
A quel(s) ensemble(s) appartient chacun des nombres suivants:
a. -3     b. 1.32    c. $√{7}$     d. ${-3}/{11}$     e. ${13}/{2}$     f. $π$     g. ${√{16}}/{2}$

2. La nature d'un nombre est liée au plus petit ensemble parmi $ℕ$, $ℤ$, $\D$, $ℚ$ et $ℝ$ auquel il appartient.
Quelle est la nature de chacun des nombres suivants:
a. 0     b. 8,573    c. $√81$     d. ${1}/{4}$     e. ${1}/{3}$     f. $√2$     g. $-{3}/{4}$

3. Quelle est la nature de chacun des nombres suivants:
$a= {3}/{7}-{2}/{3}$     $b=-8×0,125$     $c={3}/{7}×{2}/{3}$     $d= √6×√{0,0864}$     $e= 1-{1}/{3}$

4. Quelle est la nature de chacun des nombres suivants:
$a=(√{6}+1/√{6})^2$    $b=√{6}×1/√{6}$

5. On pose: $x={231}/{60×10^{100}}$
Chacun connait la propriété:
Un nombre rationnel non nul, écrit sous la forme d’une fraction irréductible d'entiers ${p}/{q}$ , est un nombre décimal si et seulement si $q= 2^m5^n$ avec $m∈N$ et $n∈N$.
Sans utiliser cette propriété, mais en revenant à la définition d'un nombre décimal, montrer que le nombre $x$ est décimal.

6.a. A l'aide de votre calculatrice, déterminer la valeur de $a=1,000001×0,999999$.
6.b. Quelle semble être la nature du nombre $a$?
6.c. Effectuer le produit donnant $a$ à la main et donner la nature exacte de $a$.
6.d. Retrouver rapidement le résultat précédent en écrivant le produit $a$ sous la forme $a=(1+0,000001)×(1-0,000001)$


Solution...
Corrigé

1. On rappelle que les ensembles de nombres remarquables sont inclus les uns dans les autres.
Ainsi, on a:   $ℕ⊂ ℤ⊂ \D⊂ ℚ⊂ ℝ$

a.   $-3∈ℤ$    $-3∈\D$    $-3∈ℚ$     $-3∈ℝ$

b. $1.32∈\D$    $1.32∈ℚ$     $1.32∈ℝ$

c. $√{7}∈ℝ$     A savoir: si un entier naturel n'est pas un carré d'entier, alors sa racine carrée est réelle.

d. A la calculatrice, on obtient: ${-3}/{11}≈-0,272727...$
Le développement décimal semble illimité de période 27; le nombre semble être rationnel (mais pas décimal). Prouvons le!
Un nombre rationnel non nul, écrit sous la forme d’une fraction irréductible d'entiers ${p}/{q}$ , est un nombre décimal si et seulement si $q= 2^m5^n$ avec $m∈N$ et $n∈N$.
Ici, la fraction est irréductible, mais le dénominateur 11 n'est pas sous la forme $ 2^m5^n$.
On a donc: ${-3}/{11}∈ℚ$     ${-3}/{11}∈ℝ$

e. On a: ${13}/{2}=6,5$     Donc: ${13}/{2}∈\D$    ${13}/{2}∈ℚ$     ${13}/{2}∈ℝ$

f. $π∈ℝ$

g. On a: ${√{16}}/{2}=4/2=2$     Donc: ${√{16}}/{2}∈ℕ$     ${√{16}}/{2}∈ℤ$    ${√{16}}/{2}∈\D$    ${√{16}}/{2}∈ℚ$     ${√{16}}/{2}∈ℝ$


2. La nature d'un nombre est liée au plus petit ensemble parmi $ℕ$, $ℤ$, $\D$, $ℚ$ et $ℝ$ auquel il appartient.
a. 0 est un entier naturel.
b. 8,573 est un nombre décimal.
c. On a: $√81=9$.     Donc $√81$ est un entier naturel.
d. On a: ${1}/{4}=0,25$     Donc ${1}/{4}$ est un nombre décimal.
e. On utilise encore la propriété: un nombre rationnel non nul, écrit sous la forme d’une fraction irréductible d'entiers ${p}/{q}$ , est un nombre décimal si et seulement si $q= 2^m5^n$ avec $m∈N$ et $n∈N$.
${1}/{3}$ est un nombre rationnel.
f. $√2$ est un nombre réel.
g. On a: $-{3}/{4}=-0,75$     Donc $-{3}/{4}$ est un nombre décimal.


3. A savoir: un nombre rationnel non nul, écrit sous la forme d’une fraction irréductible d'entiers ${p}/{q}$ , est un nombre décimal si et seulement si $q= 2^m5^n$ avec $m∈N$ et $n∈N$.
On a: $a= {3}/{7}-{2}/{3}={3×3}/{7×3}-{2×7}/{3×7}={9}/{21}-{14}/{21}=-5/21$
Ici, la fraction est irréductible, mais le dénominateur 21 n'est pas sous la forme $ 2^m5^n$.
Donc $a$ est un nombre rationnel.
Pour se rassurer, on obtient: ${-5}/{21}≈-0,238095238095...$
Le développement décimal semble illimité de période 238095; le nombre semble bien être rationnel (mais pas décimal).


On a: $b=-8×0,125=-1$     Donc $b$ est un entier relatif.

On a: $c={3}/{7}×{2}/{3}={3×2}/{7×2}=6/21=2/7$     Donc $c$ est un nombre rationnel.

On a: $d= √{6}×√{0,24}=√{6×0,24}=√{1,44}=1,2$        Donc $d$ est un nombre décimal.

On a: $e= 1-{1}/{3}=3/3-1/3=2/3$     Donc $e$ est un nombre rationnel.

4.
On a: $a=(√{6}+1/√{6})^2=(√{6})^2+2×√{6}×1/√{6}+(1/√{6})^2$
On a utilisé l'identité remarquable: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
On obtient ensuite: $a=6+2×1+1^2/(√{6})^2$
On a utilisé les égalités $a×1/a=1$ et $(a/b)^n=a^n/b^n$
On obtient enfin: $a=6+2+1/6=8+1/6=48/6+1/6=49/6$    Donc $a$ est un nombre rationnel.

On a: $b=√{6}×1/√{6}=1$     Donc $b$ est un entier naturel.


5. On a: $x={231}/{60×10^{100}}$
Nous voulons faire apparaitre uniquement des puissances de 10 au dénominateur.
$x={231}/{2^2×3×5×10^{100}}$
Le 3 au dénominateur est imprévu; la fraction doit se simplifier par 3.
$x={77×3}/{2^2×3×5×10^{100}}={77}/{2^2×5×10^{100}}$
Pour faire apparaitre des 10 au dénominateur, il suffit que les exposants de 2 et de 5 soient égaux.
$x={77×5}/{2^2×5^2×10^{100}}={385}/{(2×5)^{2}×10^{100}}={385}/{10^{2}×10^{100}}$
Soit: $x={385}/{10^{102}}$
Donc $x$ est bien un nombre décimal.

6.a. A l'aide de la calculatrice, on obtient $a=1$.
6.b. Le nombre $a$ semble valoir 1; ce serait donc un entier naturel.
Attention! La calculatrice ne manipule qu'une quinzaine de chiffres significatifs, et elle n'en affiche qu'une petite dizaine. Ce que l'on voit à l'écran peut être différent de la valeur exacte!
6.c. Effectuons le calcul du produit:
fig1
"A la main", on obtient: $a=0,999999999999$. Donc, en réalité, le nombre $a$ est un décimal.
6.d. On a: $a=(1+0,000001)×(1-0,000001)=1^2-0,000001^2=1-(10^{-6})^2=1-10^{-12}=0,999999999999$
On a utilisé l'identité remarquable: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
On retrouve le résultat précédent.

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