Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Les nombres

Exercice 1

1. On considère les ensembles de nombres: $ℕ$, $ℤ$, $\D$, $ℚ$ et $ℝ$.
A quel(s) ensemble(s) appartient chacun des nombres suivants:
a. -3     b. 1.32    c. $√{7}$     d. ${-3}/{11}$     e. ${13}/{2}$     f. $π$     g. ${√{16}}/{2}$

2. La nature d'un nombre est liée au plus petit ensemble parmi $ℕ$, $ℤ$, $\D$, $ℚ$ et $ℝ$ auquel il appartient.
Quelle est la nature de chacun des nombres suivants:
a. 0     b. 8,573    c. $√81$     d. ${1}/{4}$     e. ${1}/{3}$     f. $√2$     g. $-{3}/{4}$

3. Quelle est la nature de chacun des nombres suivants:
$a= {3}/{7}-{2}/{3}$     $b=-8×0,125$     $c={3}/{7}×{2}/{3}$     $d= √6×√{0,0864}$     $e= 1-{1}/{3}$

4. Quelle est la nature de chacun des nombres suivants:
$a=(√{6}+1/√{6})^2$    $b=√{6}×1/√{6}$

5.a. A l'aide de votre calculatrice, déterminer la valeur de $a=1,000001×0,999999$.
5.b. Quelle semble être la nature du nombre $a$?
5.c. Effectuer le produit donnant $a$ à la main et donner la nature exacte de $a$.
5.d. Retrouver rapidement le résultat précédent en écrivant le produit $a$ sous la forme $a=(1+0,000001)×(1-0,000001)$


Solution...
Corrigé

1.On rapelle que les ensembles de nombres remarquables sont inclus les uns dans les autres.
Ainsi, on a:   $ℕ⊂ ℤ⊂ \D⊂ ℚ⊂ ℝ$

a. $-3∈ℕ$     $-3∈ℤ$    $-3∈\D$    $-3∈ℚ$     $-3∈ℝ$

b. $1.32∈\D$    $1.32∈ℚ$     $1.32∈ℝ$

c. $√{7}∈ℝ$     Si un entier naturel n'est pas un carré d'entier, alors sa racine carrée est réelle.

d. Si l'écriture décimale d'un quotient de 2 entiers comporte une infinité de décimales, alors ce quotient est un rationnel.
On a: ${-3}/{11}=-0,272727...$     Donc: ${-3}/{11}∈ℚ$     ${-3}/{11}∈ℝ$

e. On a: ${13}/{2}=6,5$     Donc: ${13}/{2}∈\D$    ${13}/{2}∈ℚ$     ${13}/{2}∈ℝ$

f. $π∈ℝ$

g. On a: ${√{16}}/{2}=4/2=2$     Donc: ${√{16}}/{2}∈ℕ$     ${√{16}}/{2}∈ℤ$    ${√{16}}/{2}∈\D$    ${√{16}}/{2}∈ℚ$     ${√{16}}/{2}∈ℝ$


2. La nature d'un nombre est liée au plus petit ensemble parmi $ℕ$, $ℤ$, $\D$, $ℚ$ et $ℝ$ auquel il appartient.
a. 0 est un entier naturel.
b. 8,573 est un nombre décimal.
c. On a: $√81=9$.     Donc $√81$ est un entier naturel.
d. On a: ${1}/{4}=0,25$     Donc ${1}/{4}$ est un nombre décimal.
e. Si l'écriture décimale d'un quotient de 2 entiers comporte une infinité de décimales, alors ce quotient est un rationnel.
On a: ${1}/{3}=0,3333...$     Donc ${1}/{3}$ est un nombre rationnel.
f. $√2$ est un nombre réel.
g. On a: $-{3}/{4}=-0,75$     Donc $-{3}/{4}$ est un nombre décimal.


3.
On a: $a= {3}/{7}-{2}/{3}={3×3}/{7×3}-{2×7}/{3×7}={9}/{21}-{14}/{21}=-5/21=0,238095238095...$
Si l'écriture décimale d'un quotient de 2 entiers comporte une infinité de décimales, alors ce quotient est un rationnel.
Donc $a$ est un nombre rationnel.

On a: $b=-8×0,125=-1$     Donc $b$ est un entier relatif.

On a: $c={3}/{7}×{2}/{3}={3×2}/{7×2}=6/21=2/7=0,285714285714...$     Donc $c$ est un nombre rationnel.

On a: $d= √{6}×√{0,24}=√{6×0,24}=√{1,44}=1,2$    Donc $d$ est un nombre décimal.

On a: $e= 1-{1}/{3}=3/3-1/3=2/3=0,66...$     Donc $e$ est un nombre rationnel.

4.
On a: $a=(√{6}+1/√{6})^2=(√{6})^2+2×√{6}×1/√{6}+(1/√{6})^2$
On a utilisé l'identité remarquable: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
On obtient ensuite: $a=6+2×1+1^2/(√{6})^2$
On a utilisé les égalités $a×1/a=1$ et $(a/b)^n=a^n/b^n$
On obtient enfin: $a=6+2+1/6=8+1/6=48/6+1/6=49/6=8,16666...$    Donc $a$ est un nombre rationnel.

On a: $b=√{6}×1/√{6}=1$     Donc $b$ est un entier naturel.



5.a. A l'aide de la calculatrice, on obtient $a=1$.
5.b. Le nombre $a$ semble valoir 1; ce serait donc un entier naturel.
Attention! La calculatrice ne manipule qu'une quinzaine de chiffres significatifs, et elle n'en affiche qu'une petite dizaine. Ce que l'on voit à l'écran peut être différent de la valeur exacte!
5.c. A la main, on obtient: $a=0,999999999999$. Donc, en réalité, le nombre $a$ est un décimal.
5.d. On a: $a=(1+0,000001)×(1-0,000001)=1^2-0,000001^2=1-(10^{-6})^2=1-10^{-12}=0,999999999999$
On a utilisé l'identité remarquable: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
On retrouve le résultat précédent.

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