Nombres et calculs
Exercice 2
1.a. On suppose que $x$<$15$ et $x≤18$ et $2≤x$ et $5≤x$
Cela équivaut à : $x∈I$. Déterminer l'intervalle $I$.
1.b. On suppose que ($x$<$15$ ou $x≤18$) et ($2≤x$ ou $5$<$x$)
Cela équivaut à : $x∈I$. Déterminer l'intervalle $I$.
1.c. On suppose que ($2≤x$ et $x≤5$) ou ($x$<$18$ et $15$<$x$)
Cela équivaut à : $x∈E$. Déterminer l'ensemble $E$.
1.d. On suppose que ($2≤x$ et $x≤5$) et ($x$<$18$ et $15$<$x$)
Cela équivaut à : $x∈I$. Déterminer l'intervalle $I$.
1.e. On suppose que $2≤x$ et $5$<$x$
Cela équivaut à : $x∈I$. Déterminer l'intervalle $I$.
2. On suppose que le nombre réel $y$ est dans l'intervalle $[2;3]$.
Cela est équivalent au fait que $|y-a|≤r$.
Que valent les nombres $a$ et $r$?
3. On suppose que le nombre réel $z$ vérifie l'inéquation $|z-6,32|≤0,01$.
Cela est équivalent au fait que $inf≤ z ≤ sup$.
Déterminer alors les deux nombres $inf$ et $sup$.
Dans quel intervalle se situe $z$?
4.a. Donner un encadrement de $√{2}$ par deux décimaux à $10^{-3}$ près.
4.b. En déduire un intervalle d'amplitude $10^{-3}$ contenant $√{2}$.
4.c. En déduire deux nombres $a$ et $r$ tels que $|√{2}-a|≤r$.
5. On suppose que: $x∈]-∞;3[∪]5;+∞[$.
Cela est équivalent au fait que $|x-a|>r$.
Que valent les nombres $a$ et $r$?
6.
Soit $I=[-2;7]$ et $J=]1;+\∞[$.
Déterminer $I∪ J$ et $I∩ J$.
Solution...
Corrigé
1.a. On suppose que $x$<$15$ et $x≤18$ et $2$<$x$ et $5≤x$
C'est à dire que: $x$<$15$ et $5≤x$
Donc: $x∈[5;15[$ Donc $I=[5;15[$
1.b. On suppose que ($x$<$15$ ou $x≤18$) et ($2≤x$ ou $5$<$x$)
C'est à dire que: $x≤18$ et $2≤x$
Donc: $x∈[2;18]$ Donc $I=[2;18]$
1.c. On suppose que ($2≤x$ et $x≤5$) ou ($x$<$18$ et $15$<$x$)
C'est à dire que: $2≤x≤5$ ou $15$<$x$<$18$
Donc: $x∈[2;5]∪]15;18[$ Donc $E=[2;5]∪]15;18[$
1.d. On suppose que ($2≤x$ et $x≤5$) et ($x$<$18$ et $15$<$x$)
C'est à dire que: $2≤x≤5$ et $15$<$x$<$18$
C'est impossible! Donc $I=∅$
1.e. On suppose que $2≤x$ et $5$<$x$
C'est à dire que: $5$<$x$
Donc: $x∈]5;+∞[$ Donc $I=]5;+∞[$
2. On rappelle que $|y-a|$ est la valeur absolue de $y-a$, c'est à dire la distance entre les nombres $y$ et $a$.
Par conséquent, $|y-a|≤r$ signifie que la distance entre $y$ et $a$ est inférieure ou égale à $r$.
Le nombre réel $y$ est dans l'intervalle $[2;3]$ signifie que l'on a: $2≤y≤3$.
Comme $2,5$ est le centre de l'intervalle $[2;3]$, et que cette intervalle a pour amplitude 1, on peut alors affirmer que la distance entre $y$ et $2,5$ est
inférieure ou égale à $0,5$.
C'est à dire que: $|y-2,5|≤0,5$.
On obtient donc: $a=2,5$ et $r=0,5$.
3. Le nombre réel $z$ vérifie l'inéquation $|z-6,32|≤0,01$.
Donc la distance entre $z$ et $6,32$ est inférieure ou égale à $0,01$.
On a donc: $6,32-0,01≤ z≤6,32+0,01$.
Soit: $6,31≤ z≤6,33$.
D'où: $inf=6,31$ et $sup=6,33$
Le nombre $z$ se situe dans l'intervalle $[6,31 ; 6,33]$
4.a. A la calculatrice, on obtient: $√{2}≈1,4142$. Donc: $1,414 ≤√{2}≤1,415$.
L'encadrement est à $10^{-3}$ près car $1,415-1,414=0,001=10^{-3}$.
4.b. Un intervalle d'amplitude $10^{-3}$ contenant $√{2}$ est alors: $[1,414 ; 1,415]$.
4.c. Le centre de l'intervalle $[1,414 ; 1,415]$ est $1,4145$.
Or l'amplitude de l'intervalle est $0,001=2×0,0005$.
Donc on obtient: $|√{2}-1,4145|≤0,0005$.
Par conséquent: $a=1,4145$ et $r=0,0005$.
Il suffit de considérer le centre de l'intervalle pour $a$ et la moitié de son amplitude pour $r$.
5. Le nombre réel $x$ est dans l'ensemble ]-∞;3[∪]5;+∞[ signifie que $x$ n'est pas dans l'intervalle $[3;5]$
Comme $4$ est le centre de l'intervalle $[3;5]$, et que cette intervalle a pour amplitude 2, on peut alors affirmer que la distance entre $x$ et $4$ est
strictement supérieure à $1$.
C'est à dire que: $|x-4|>1$.
On obtient donc: $a=4$ et $r=1$.
6. $x∈ I$ $⇔$ $-2≤ x≤ 7$
$x∈ J$ $⇔$ $1< x$
$x∈ I∪ J$ $⇔$ $-2≤ x≤ 7$ ou $1< x$ $⇔$ $-2≤ x$
Donc: $I∪ J=[-2;+\∞[$.
$x∈ I∩ J$ $⇔$ $-2≤ x≤ 7$ et $1< x$ $⇔$ $1< x≤ 7$
Donc: $I∩ J=]1;7]$