Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Les nombres

Exercice 2

1.a. On suppose que $x$<$15$ et $x≤18$ et $2≤x$ et $5$<$x$
Dans quel intervalle se situe assurément $x$?
1.b. On suppose que ($x$<$15$ ou $x≤18$) et ($2≤x$ ou $5$<$x$)
Dans quel intervalle se situe assurément $x$?
1.c. On suppose que ($2≤x$ et $x≤5$) ou ($x$<$18$ et $15$<$x$)
Dans quel ensemble se situe assurément $x$?
1.d. On suppose que ($2≤x$ et $x≤5$) et ($x$<$18$ et $15$<$x$)
Dans quel ensemble se situe assurément $x$?

2. On suppose que le nombre réel $y$ est dans l'intervalle $[2;3]$.
Cela est équivalent au fait que $|y-a|≤r$.
Que valent les nombres $a$ et $r$?

3. On suppose que le nombre réel $z$ vérifie l'inéquation $|z-6,32|≤0,01$.
Cela est équivalent au fait que $inf≤ z ≤ sup$.
Déterminer alors les deux nombres $inf$ et $sup$.
Dans quel intervalle se situe $z$?

4.a. Donner un encadrement de $√{2}$ par deux décimaux à $10^{-3}$ près.
4.b. En déduire un intervalle d'amplitude $10^{-3}$ contenant $√{2}$.
4.c. En déduire deux nombres $a$ et $r$ tels que $|√{2}-a|≤r$.

5.a. On considère la figure suivante.
fig1
On pose: $x=CB$. ($x$ est évidemment strictement positif)
Exprimer l'aire $a_1$ du carré ABCD en fonction de $x$.
5.b. Exprimer l'aire $a_2$ du quart de disque hachuré en rouge en fonction de $x$.
5.c. Comparer l'aire $a_2$ aux trois quarts de l'aire $a_1$.
5.d. On appelle $a_3$ l'aire de la surface verte.
Un logiciel de géométrie nous permet de calculer les aires en fonction de $x$. Par exemple, pour $x=3$, ce logiciel donne pour $a_2$ et pour $a_3$ le même nombre $7,068583471$.
Peut-on en conclure que, pour tout $x$, les aires $a_2$ et $a_3$ sont égales? Que peut-on conjecturer?
Prouver votre conjecture.


Solution...
Corrigé

1.a. On suppose que $x$<$15$ et $x≤18$ et $2$<$x$ et $5≤x$
C'est à dire que: $x$<$15$ et $5≤x$
Donc: $x∈[5;15[$
1.b. On suppose que ($x$<$15$ ou $x≤18$) et ($2≤x$ ou $5$<$x$)
C'est à dire que: $x≤18$ et $2≤x$
Donc: $x∈[2;18]$
1.c. On suppose que ($2≤x$ et $x≤5$) ou ($x$<$18$ et $15$<$x$)
C'est à dire que: $2≤x≤5$ ou $15$<$x$<$18$
Donc: $x∈[2;5]∪]15;18[$
1.d. On suppose que ($2≤x$ et $x≤5$) et ($x$<$18$ et $15$<$x$)
C'est à dire que: $2≤x≤5$ et $15$<$x$<$18$
C'est impossible! Donc $x∈ ∅$

2. On rappelle que $|y-a|$ est la valeur absolue de $y-a$, c'est à dire la distance entre les nombres $y$ et $a$.
Par conséquent, $|y-a|≤r$ signifie que la distance entre $y$ et $a$ est inférieure ou égale à $r$.

Comme le nombre réel $y$ est dans l'intervalle $[2;3]$, on a $2≤y≤3$.
Comme $2,5$ est le centre de l'intervalle $[2;3]$, et que cette intervalle a pour amplitude 1, on peut alors affirmer que la distance entre $y$ et $2,5$ est inférieure ou égale à $0,5$.
C'est à dire que: $|y-2,5|≤0,5$.
On obtient donc: $a=2,5$ et $r=0,5$.

3. Le nombre réel $z$ vérifie l'inéquation $|z-6,32|≤0,01$.
Donc la distance entre $z$ et $6,32$ est inférieure ou égale à $0,01$.
On a donc: $6,32-0,01≤ z≤6,32+0,01$.
Soit: $6,31≤ z≤6,33$.
D'où: $inf=6,31$ et $sup=6,33$
Le nombre $z$ se situe dans l'intervalle $[6,31 ; 6,33]$

4.a. A la calculatrice, on obtient: $√{2}≈1,4142$. Donc: $1,414 ≤√{2}≤1,415$.
L'encadrement est à $10^{-3}$ près car $1,415-1,414=0,001=10^{-3}$.

4.b. Un intervalle d'amplitude $10^{-3}$ contenant $√{2}$ est alors: $[1,414 ; 1,415]$.

4.c. Le centre de l'intervalle $[1,414 ; 1,415]$ est $1,4145$.
Or l'amplitude de l'intervalle est $0,001=2×0,0005$.
Donc on obtient: $|√{2}-1,4145|≤0,0005$.
Par conséquent: $a=1,4145$ et $r=0,0005$.
Il suffit de considérer le centre de l'intervalle pour $a$ et la moitié de son amplitude pour $r$.

5.a. fig1
Le carré ABCD admet pour aire $a_1=CB^2=x^2$.

5.b. On rappelle que l'aire d'un disque de rayon $r$ vaut $π × r^2$.
Le quart de disque hachuré en rouge admet pour aire $a_2=1/4 × π × CB^2=π/4 × x^2$

5.c. On doit comparer    $a_2=π/4 x^2$    à    $3/4 a_1=3/4 x^2$.
Comme $x$ n'est pas nul, cela revient à comparer $π/4$ à $3/4$, c'est à dire $π$ à $3$.
Or on sait que $π$ vaut environ $3,14$, et par là, il est strictement supérieur à 3.
Donc finalement, l'aire $a_2$ est strictement supérieure aux trois quarts de l'aire $a_1$ .

5.d. Les valeurs affichées par le logiciel sont ici approximatives. La seule affirmation correcte est donc que, pour $x=3$, les aires $a_2$ et $a_3$ sont approximativement égales.
Et même si l'on avait prouvé que les deux aires sont parfaitement égales, cela ne serait vrai que pour $x=3$, et il n'est pas certain que cela restera vrai pour les autres valeurs de $x$.
Ce que l'on peut faire cependant, c'est conjecturer que, pour tout $x$, les aires $a_2$ et $a_3$ sont égales.
En mathématiques, une conjecture est une hypothèse que l'on n'a pas encore démontrée..
Démontrons donc cette conjecture est vraie!
L'aire $a_4$ du quart de disque AHK vaut: $a_4=1/4 × π × AC^2$.
Or la diagonale AC du carré ABCD (de côté $x$) vaut $√{2}x$ (On rappelle que la diagonale d'un carré de côté $a$ vaut $√{2} × a$).
Donc on obtient: $a_4=π/4 × (√{2}x)^2=π/4 ×√{2}^2×x^2=2×π/4 × x^2$.
Or l'aire $a_3$ de la surface verte vérifie: $a_3=a_4-a_2$.
Donc $a_3=2×π/4 × x^2-π/4 × x^2=π/4 × x^2$.
Et comme on sait que $a_2=π/4 × x^2$, on obtient: $a_3=a_2$.
L'aire $a_3$ de la surface verte est donc égale à l'aire $a_2$ .

Réduire...

Copyright 2016 - maths-2de.com - Toute reproduction interdite - Tous droits réservés.