Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Les nombres

Exercice 3

1.a. Ecrire le quotient $39/80$ en décomposant le numérateur et le dénominateur sous forme de produits de nombres premiers.
1.b. Sans calculatrice, déterminer alors un entier relatif $x$ et un entier naturel $n$ tels que $39/80=x/{10^n}$.
1.c. En déduire la nature de $13/80$.

2. Le nombre $x$ est un diviseur de 70786 et de 1197. C'est aussi un multiple de 9. Et il vaut au moins 10.
Que vaut $x$?

3. Soit $n$ un entier naturel.
Montrer que $2n+1=(n+1)^2-n^2$.
Ecrire le nombre 731 comme différence de 2 carrés d'entiers naturels.


Solution...
Corrigé

1.a. On a: $39/80={3×13}/{2^4×5}$.
1.b. On rappelle que $10=2×5$.
Nous allons faire apparaitre ce nombre 10 au dénominateur.
On a: $39/80={3×13}/{2^3×2×5}={39}/{2^3×10}$.
Comme le $2^3$ nous gêne, nous multiplions numérateur et dénominateur par $5^3$.
On a alors: $39/80={5^3×39}/{5^3×2^3×10}={4875}/{(5×2)^3×10}={4875}/{10^3×10}={4875}/{10^4}$.
On a obtenu $39/80=x/{10^n}$. L'entier relatif $x=4875$ et l'entier naturel $n=4$ conviennent.
1.c. Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire comme le quotient d'un entier relatif par une puissance de 10.
Par conséquent, le nombre $13/80$ est un nombre décimal. Cela est confirmé par son écriture décimale qui est $0,4875$.

2. On recherche d'abord les diviseurs communs à 70786 et 1197.
On décompose les nombres 70786 et 1197 en produits de nombres premiers.
On a: $70786=2×3^3×7×11×17$
Et on a: $1197=3^2×7×19$
Par conséquent, les diviseurs communs à 70786 et 1197 s'écrivent sous la forme $3^a×7^b$,
où:    $a=0$ ou $a=1$ ou $a=2$    et:    $b=0$ ou $b=1$.
Le nombre $x$ fait partie de ces diviseurs communs.
Mais on sait également que $x$ est un multiple de 9.
Donc nécessairement: $a=2$ (car $3^2=9$)
Donc les seules valeurs possibles de $x$ sont:    $3^2×7^0=9×1=9$    et    $3^2×7^1=9×7=63$
Mais $x$ vaut au moins 10, la seule valeur possible est $x=63$.

3. Attention! Ne pas commencer par écrire une égalité pour la démontrer!
Pour montrer une égalité, on peut en choisir un membre (celui de gauche ou celui de droite), et montrer qu'il est égal à l'autre membre.

$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$     L'égalité demandée est démontrée.
Comme 731 est impair, il peut s'écrire sous la forme $2n+1$.
On a: $731=2×365+1$
Donc, en posant $n=365$ dans l'égalité précédente, on obtient: $(365+1)^2-365^2=2×365+1$
Et par là: $366^2-365^2=731$
On a écrit le nombre 731 comme différence de 2 carrés d'entiers naturels.

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