Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Les nombres

Exercice 3

1.a. Ecrire le quotient $39/80$ en décomposant le numérateur et le dénominateur sous forme de produits de nombres premiers.
1.b. Sans calculatrice, déterminer alors un entier relatif $x$ et un entier naturel $n$ tels que $39/80=x/{10^n}$.
1.c. En déduire la nature de $39/80$.

2.a. Sans calculatrice, écrire les fractions suivantes sous forme irréductible.
${420}/{198}$    ${225}/{78}$    ${792}/{156}$    ${418}/{132}$

2.b. Sans calculatrice, déterminer le plus grand diviseur commun $d$ à 420 et 198.
Puis déterminer tous les diviseurs communs à 420 et 198.
Déterminer le plus petit multiple commun $m$ à 420 et 198.
Comparer le produit $d×m$ au produit $420×198$

3. Le nombre $x$ est un diviseur de 70786 et de 1197. C'est aussi un multiple de 9. Et il vaut au moins 10.
Que vaut $x$?

4. Soit $n$ un entier naturel.
Montrer que $2n+1=(n+1)^2-n^2$.
Ecrire le nombre 731 comme différence de 2 carrés d'entiers naturels.


Solution...
Corrigé

1.a. On a: $39/80={3×13}/{2^4×5}$.
1.b. On rappelle que $10=2×5$.
Nous allons faire apparaitre ce nombre 10 au dénominateur.
On a: $39/80={3×13}/{2^3×2×5}={39}/{2^3×10}$.
Comme le $2^3$ nous gêne, nous multiplions numérateur et dénominateur par $5^3$.
On a alors: $39/80={5^3×39}/{5^3×2^3×10}={4875}/{(5×2)^3×10}={4875}/{10^3×10}={4875}/{10^4}$.
On a obtenu $39/80=x/{10^n}$. L'entier relatif $x=4875$ et l'entier naturel $n=4$ conviennent.
1.c. Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire comme le quotient d'un entier relatif par une puissance de 10.
Par conséquent, le nombre $39/80$ est un nombre décimal.
Cela est confirmé par son écriture décimale qui est $0,4875$.
On pouvait aussi le prouver car un nombre rationnel non nul, écrit sous la forme d’une fraction irréductible d'entiers ${p}/{q}$ , est un nombre décimal si et seulement si $q= 2^m5^n$ avec $m∈N$ et $n∈N$.
C'est le cas ici avec $p=39$ et $q=80=2^4×5$.


2.a. Nous décomposons numérateurs et dénominateurs en produits de nombres premiers.
Les premiers nombres premiers sont: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Evidemment, les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 11 accélèrent le processus.

${420}/{198}={2^2×105}/{2×99}={2^2×3×35}/{2×3^2×11}={2^2×3×5×7}/{2×3^2×11}={2×5×7}/{3×11}={70}/{33}$
${225}/{78}={3^2×25}/{2×39}={3^2×5^2}/{2×3×13}={3×5^2}/{2×13}={75}/{26}$
${792}/{156}={2^3×99}/{2^2×39}={2^3×3^2×11}/{2^2×3×13}={2×3×11}/{13}={66}/{13}$
${418}/{132}={2×209}/{2^2×33}={2×11×19}/{2^2×3×11}={19}/{2×3}={19}/{6}$

2.b. On a vu précédemment que: $420=2^2×3×5×7$ et $198=2×3^2×11$.
Les diviseurs communs (naturels) à 420 et 198 sont: $1$, $2$, $3$ et 6.
Le plus petit multiple commun à 420 et 198 est $m=2^2×3^2×5×7×11=13860.
On a: $d×m=6×13860=83160$. Et: $420×198=83160$.
Donc: $d×m=420×198$
Cette égalité était évidente pour ceux qui connaissent la propriété qui suit.
Si $d$ est le pgcd de $x$ et $y$, si $m$ est le pgcm de $x$ et $y$, alors $dm=xy$.



3. On recherche d'abord les diviseurs communs à 70786 et 1197.
On décompose les nombres 70786 et 1197 en produits de nombres premiers.
On a: $70786=2×3^3×7×11×17$
Et on a: $1197=3^2×7×19$
Les seuls facteurs premiers en commun sont 3 et 7. L'exposant minimal de 3 est 2, celui de 7 est 1.
Par conséquent, les diviseurs communs à 70786 et 1197 s'écrivent sous la forme $3^a×7^b$,
où:    $a=0$ ou $a=1$ ou $a=2$    et:    $b=0$ ou $b=1$.
Le nombre $x$ fait partie de ces diviseurs communs.
Mais on sait également que $x$ est un multiple de 9.
Donc nécessairement: $a=2$ (car $3^2=9$)
Donc les seules valeurs possibles de $x$ sont:    $3^2×7^0=9×1=9$    et    $3^2×7^1=9×7=63$
Mais $x$ vaut au moins 10, la seule valeur possible est $x=63$.

4. Attention! Ne pas commencer par écrire une égalité pour la démontrer!
Pour montrer une égalité, on peut en choisir un membre (celui de gauche ou celui de droite), et montrer qu'il est égal à l'autre membre.

$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$     L'égalité demandée est démontrée.

A retenir: un entier pair peut s'écrire sous la forme $2k$, où $k$ est un entier.
un entier impair peut s'écrire sous la forme $2k+1$, où $k$ est un entier.

Comme 731 est impair, il peut s'écrire sous la forme $2k+1$ (avec $k$ entier).
Ici, on a: $k=365$. On a: $731=2×365+1$
Donc, en posant $n=365$ dans l'égalité précédente, on obtient: $(365+1)^2-365^2=2×365+1$
Et par là: $366^2-365^2=731$
On a écrit le nombre 731 comme différence de 2 carrés d'entiers naturels.

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