Nombres et calculs
Exercice 4
1.a. Ecrire le quotient $39/80$ en décomposant le numérateur et le dénominateur sous forme de produits de nombres premiers.
1.b. Sans calculatrice, déterminer alors un entier relatif $x$ et un entier naturel $n$ tels que $39/80=x/{10^n}$.
1.c. En déduire la nature de $39/80$.
2. Sans calculatrice, écrire les fractions suivantes sous forme irréductible.
${420}/{198}$ ${225}/{78}$ ${792}/{156}$ ${418}/{132}$
3. Soit $n$ un entier naturel.
Montrer que $2n+1=(n+1)^2-n^2$.
Ecrire le nombre 731 comme différence de 2 carrés d'entiers naturels.
Solution...
Corrigé
1.a. On a: $39/80={3×13}/{2^4×5}$.
1.b. On rappelle que $10=2×5$.
Nous allons faire apparaitre ce nombre 10 au dénominateur.
On a: $39/80={3×13}/{2^3×2×5}={39}/{2^3×10}$.
Comme le $2^3$ nous gêne, nous multiplions numérateur et dénominateur par $5^3$.
On a alors: $39/80={5^3×39}/{5^3×2^3×10}={4875}/{(5×2)^3×10}={4875}/{10^3×10}={4875}/{10^4}$.
On a obtenu $39/80=x/{10^n}$.
L'entier relatif $x=4875$ et l'entier naturel $n=4$ conviennent.
1.c. Un nombre décimal est un nombre pouvant s'écrire comme le quotient d'un entier relatif par une puissance de 10.
Par conséquent, le nombre $39/80$ est un nombre décimal.
Cela est confirmé par son écriture décimale qui est $0,4875$.
On pouvait aussi le prouver car un nombre rationnel non nul, écrit sous la forme d’une fraction irréductible d'entiers ${p}/{q}$ , est un nombre décimal si et
seulement si
$q= 2^m5^n$ avec $m∈N$ et $n∈N$.
C'est le cas ici avec $p=39$ et $q=80=2^4×5$.
2. Nous décomposons numérateurs et dénominateurs en produits de nombres premiers.
Les premiers nombres premiers sont: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Evidemment, les critères de divisibilité par 2, 3, 5 et 11 accélèrent le processus.
${420}/{198}={2^2×105}/{2×99}={2^2×3×35}/{2×3^2×11}={2^2×3×5×7}/{2×3^2×11}={2×5×7}/{3×11}={70}/{33}$
${225}/{78}={3^2×25}/{2×39}={3^2×5^2}/{2×3×13}={3×5^2}/{2×13}={75}/{26}$
${792}/{156}={2^3×99}/{2^2×39}={2^3×3^2×11}/{2^2×3×13}={2×3×11}/{13}={66}/{13}$
${418}/{132}={2×209}/{2^2×33}={2×11×19}/{2^2×3×11}={19}/{2×3}={19}/{6}$
3. Attention! Ne pas commencer par écrire une égalité pour la démontrer!
Pour montrer une égalité, on peut en choisir un membre (celui de gauche ou celui de droite), et montrer qu'il est égal à l'autre membre.
$(n+1)^2-n^2=n^2+2n+1-n^2=2n+1$ L'égalité demandée est démontrée.
A retenir: un entier pair peut s'écrire sous la forme $2k$, où $k$ est un entier.
un entier impair peut s'écrire sous la forme $2k+1$, où $k$ est un entier.
Comme 731 est impair, il peut s'écrire sous la forme $2k+1$ (avec $k$ entier).
Ici, on a: $k=365$. On a: $731=2×365+1$
Donc, en posant $n=365$ dans l'égalité précédente, on obtient: $(365+1)^2-365^2=2×365+1$
Et par là: $366^2-365^2=731$
On a écrit le nombre 731 comme différence de 2 carrés d'entiers naturels.