Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Nombres et calculs

Exercice 5

Tous les calculs qui suivent seront faits sans calculatrice!
1.a. Simplifier les écritures suivantes:
$a=√{7}×√{28}$      $b={√{99}/{√{11}}$
$c=(√{7})^2$      $d=√{16}+√{64}$
1.b. Simplifier les écritures suivantes:
$a=π^2×π^3$      $b=5^2+5^3$
$c=(π^3)^2$      $d=({5}/{3})^2$
$e=3×10^{2}×7×10^{4}$      $f=3×10^{2}+7×10^{4}$
1.c. Simplifier les écritures suivantes:
$a={1}/{3}+{2}/{5}$      $b={1}/{3}×{2}/{5}$
$c={3^2×5×11^6×13^2}/{3^3×11^4×169}$      $d=3+{2}/{7}$

2.a. Sauf indication contraire, $x$ est un réel quelconque.
Simplifier les écritures suivantes:
$a=√{x^2}$
$b=(√{x})^2$     (pour $x$ réel positif)
$c=(x-3)^2-x^2-9$
$d=(2x+1)^2-4x-1$
2.b. Développer et réduire:
$a=(-x+4)^2-x^2$      $b=8-(x-5)^2$
$c=(3-4x)(4x+3)$      $d=2(x-1)(x+4)-2x^2$
2.c. Factoriser:
$a=3x^2-2x$      $b=x^2+2x+1$
$c=9x^2-121$      $d=-16+8x-x^2$

3.a. Comparer    $√{21}×√{63}$    à    $21√{3}$
3.b. Comparer    $√{8,5}+√{1,5}$    à     $√{10}$
3.c. Comparer    $6,9+4√{3}$    à     $(2+√{3})^2$


Solution...
Corrigé

1.a.
$a=√{7}×√{28}=√{7×28}=√{7×7×4}=√{49×4}=√{49}×√{4}=7×2=14$
$b={√{99}/{√{11}}={√{9×11}/{√{11}}=√{{9×11}/{11}}=√{9}=3$
$c=(√{7})^2=7$
$d=√{16}+√{64}=4+8=12$

1.b.
$a=π^2×π^3=π^{2+3}=π^5$
$b=5^2+5^3=25+125=150$
$c=(π^3)^2=π^{3×2}=π^6$
$d=({5}/{3})^2={5^2}/{3^2}={25}/{9}$
$e=3×10^{2}×7×10^{4}=3×7×10^{2+4}=21×10^6=21\,000\,000$
$f=3×10^{2}+7×10^{4}=300+70\,000=70\,300$

1.c.
$a={1}/{3}+{2}/{5}={1×5}/{3×5}+{2×3}/{5×3}={5}/{15}+{6}/{15}={5+6}/{15}={11}/{15}$
$b={1}/{3}×{2}/{5}={1×2}/{3×5}={2}/{15}$
$c={3^2×5×11^6×13^2}/{3^3×11^4×13^2}=3^{2-3}×5×11^{6-4}×13^{2-2}={3^{-1}×5×11^{2}×13^0={5×121×1}/{3}={605}/{3}$
$d=3+{2}/{7}={3}/{1}+{2}/{7}={3×7}/{1×7}+{2}/{7}={21}/{7}+{2}/{7}={21+2}/{7}={23}/{7}$

2.a.
$a=√{x^2}=|x|$
$b=(√{x})^2=x$ ( $x$ est un réel nécessairement positif, sinon sa racine carrée n'existerait pas! )
$c=(x-3)^2-x^2-9=x^2-2×x×3+3^2-x^2-9=x^2-6x+9-x^2-9=-6x$
$d=(2x+1)^2-4x-1=(2x)^2+2×2x×1+1^2-4x-1=2^2×x^2+4x+1-4x-1=4x^2$

2.b.
$a=(-x+4)^2-x^2=(-x)^2+2×(-x)×4+4^2-x^2=x^2-8x+16-x^2=-8x+16$
$b=8-(x-5)^2=8-(x^2-2×x×5+5^2)=8-(x^2-10x+25)$
Soit: $b=8-x^2+10x-25=-x^2+10x-17$
$c=(3-4x)(4x+3)=3×4x+3×3-4x×4x-4x×3=12x+9-16x^2-12x=-16x^2+9$
Autre méthode:  $c=(3-4x)(4x+3)=(3-4x)(3+4x)=3^2-(4x)^2=9-16x^2$
$d=2(x-1)(x+4)-2x^2=(2x-2)(x+4)-2x^2$
Soit: $d=2x×x+2x×4-2×x-2×4-2x^2=2x^2+8x-2x-8-2x^2$
Soit: $d=6x-8$

2.c.
$a=3x^2-2x=x(3x-2)$
$b=x^2+2x+1=x^2+2×x×1+1^2=(x+1)^2$
$c=9x^2-121=(3x)^2-11^2=(3x-11)(3x+11)$
$d=-16+8x-x^2=-(16-8x+x^2)=-(4^2-2×4×x+x^2)=-(4-x)^2$

3.a. $√{21}×√{63}=√{21×63}=√{3×7×9×7}=√{3}×√{49}×√{9}=√{3}×7×3=21√{3}$
Donc: $√{21}×√{63}=21√{3}$

3.b. On sait que, pour tous nombres $a$ et $b$ strictement positifs, on a: $√{a+b}$<$√{a}+√{b}$
Comme $8,5$ et $1,5$ sont stritement positifs, on obtient: $√{8,5+1,5}$<$√{8,5}+√{1,5}$
Soit: $√{10}$<$√{8,5}+√{1,5}$

3.c. On développe: $(2+√{3})^2=2^2+2×2×√{3}+(√{3})^2=4+4√{3}+3=7+4√{3}$
Par conséquent: $(2+√{3})^2$>$6,9+4√{3}$

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