Les Maths en Seconde

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Nombres et calculs

Exercice 7

Trois amis très sportifs, Anatole, Barnabé et Childéric commencent des tours de parc en marche rapide.
Pour effectuer un tour, Anatole met 28 minutes, Barnabé 30 minutes et Childéric 35 minutes.
Dans combien de temps se retrouveront-ils ensemble au lieu du départ ?


Solution...
Corrigé

On suppose qu'ils se retrouvent ensemble après qu'Anatole ait fait x tours, Barnabé y tours et Childéric z tours ($x$, $y$ et $z$ sont des entiers les plus petits possibles et non nuls).
On a donc: $28×x=30×y=35×z$
Soit: $2×2×7×x=2×3×5×y=5×7×z$
Or la décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers est unique.
Donc il existe un entier $x'$ tel que $x=3×5×x'$ (pour que le 3 et le 5 du second membre apparaissent dans le premier membre).
De même, il existe un entier $y'$ tel que $y=2×7×y'$.
De même, il existe un entier $z'$ tel que $z=2×2×3×z'$.
On obtient alors: $2×2×7×3×5×x'=2×3×5×2×7×y'=5×7×2×2×3×z'$
D'où: $x'=y'=z'$.
Or $x$, $y$ et $z$ sont des entiers les plus petits possibles et non nuls.
Par conséquent, $x'$, $y'$ et $z'$ sont aussi des entiers les plus petits possibles et non nuls.
Et donc: $x'=y'=z'=1$.
Et par là, on obtient: $x=15$, $y=14$ et $z=12$.
On a alors: $28×15=30×14=35×12=420$
Les trois amis se retrouvent au bout de 420 minutes (7 heures).

On pouvait aussi chercher directement le plus petit commun multiple $m$ de 28, 30 et 35.
On a: $28=2×2×7$, $30=2×3×5$ et $35=5×7$
Donc $m=2^2×3×5×7=420$
Les trois amis se retrouvent donc au bout de 420 minutes (7 heures).

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