A savoir: l'aire d'un triangle de hauteur $h$ et de base $b$ vaut ${b×h}/{2}$
Dans le cas d'un triangle rectangle, les côtés de l'angle droit peuvent avantageusement jouer les rôles de base et de hauteur.

1. Une figure convenable est proposée ci-dessous.


2. ABC est rectangle en A.
Donc l'aire de ABC est $a={AB×AC}/{2}={5×3}/{2}=7,5$
Soit: $a=7,5$

3. ABC est rectangle en A, donc: $BC^2=AB^2+AC^2$ (d'après le théorème de Pythagore).
Soit: $BC^2=5^2+3^2=34$.
Donc: $BC=√{34}$ (car BC est positive).
Par ailleurs, comme H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC), le segment [AH] est la hauteur du triangle associée à la base [BC].
L'aire de ABC est donc $a={BC×AH}/{2}$
On obtient donc: $7,5={√{34}×AH}/{2}$
Et par là: ${7,5×2}/{√{34}}=AH$. Soit: $AH={15}/{√{34}}≈2,57$

Autre méthode.
ABC est rectangle en A, donc $\tan {ACB}↖{∧}={AB}/{AC}={5}/{3}$
Et par là: ${ACB}↖{∧}≈59°$ (obtenu à l'aide de la calculatrice à l'aide de la "touche" Arctan)
Or, comme H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC), le triangle ACH est rectangle en H, et on a: $\sin {ACH}↖{∧}={AH}/{AC}$
Et par ailleurs, ${ACH}↖{∧}={ACB}↖{∧}$ ( car H est sur le segment [BC]) et $AC=3$.
Donc on obtient: $\sin 59°≈{AH}/{3}$
Et donc: $AH≈3\sin 59°≈2,57$