Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Orthogonalité

Exercice 1

On considère le triangle ABC rectangle en A tel que $AB=5$ et $AC=3$.
Soit H le projeté orthogonal de A sur la droite (BC).
1. Faire une figure.
2. Que vaut l'aire de ABC?
3. Déterminer la distance AH.

Solution...
Corrigé

1. Faire une figure.
2. Que vaut l'aire de ABC?
3. Déterminer la distance AH.

A savoir: l'aire d'un triangle de hauteur $h$ et de base $b$ vaut ${b×h}/{2}$
Dans le cas d'un triangle rectangle, les côtés de l'angle droit peuvent avantageusement jouer les rôles de base et de hauteur.


1. Une figure convenable est proposée ci-dessous.
fig1

2. ABC est rectangle en A.
Donc l'aire de ABC est $a={AB×AC}/{2}={5×3}/{2}=7,5$
Soit: $a=7,5$

3. ABC est rectangle en A, donc: $BC^2=AB^2+AC^2$ (d'après le théorème de Pythagore).
Soit: $BC^2=5^2+3^2=34$.
Donc: $BC=√{34}$ (car BC est positive).
Par ailleurs, comme H est le projeté orthogonal de A sur la droite (BC), le segment [AH] est la hauteur du triangle associée à la base [BC].
L'aire de ABC est donc $a={BC×AH}/{2}$
On obtient donc: $7,5={√{34}×AH}/{2}$
Et par là: ${7,5×2}/{√{34}}=AH$. Soit: $AH={15}/{√{34}}$

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