Les Maths en Seconde

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Orthogonalité

Exercice 2

Un ballon décolle verticalement du point D.
Un observateur se situe au niveau du sol, au point O, situé à 2 km du point D.
Le ballon passe par le point $M_1$ au bout de 16 minutes et 40 secondes.
Et 12 minutes et 12 secondes plus tard, il passe par le point $M_2$.
fig2
A l'aide d'un sextant, l'observateur mesure les angles ${DOM_1}↖{∧}$ et ${DOM_2}↖{∧}$.
Il trouve ${DOM_1}↖{∧}=45°$ ${DOM_2}↖{∧}=60°$
1. Déterminer la distance $M_1M_2$.
2. Quelle est la vitesse moyenne du ballon entre $M_1$ et $M_2$?
On exprimera cette vitesse en m/s, puis en km/h.

Solution...
Corrigé

1. Le triangle $ODM_1$ est rectangle en D, et comme ${DOM_1}↖{∧}=45°$, ce triangle est isorectangle en O.
Donc: $DM_1=DO$.
Et par là: $DM_1=2$

Le triangle $ODM_2$ est rectangle en D, ce qui permet les calculs suivants.
$\cos {DOM_2}↖{∧}={OD}/{OM_2}$.
Et donc: $OM_2={OD}/{\cos {DOM_2}↖{∧}}={2}/{\cos 60°}={2}/{{1}/{2}}=4$.
$DM_2^2=OM_2^2-OD_2^2=4^2-2^2=16-4=12$
Et par là: $DM_2=√{12}$

Et finalement: $M_1M_2=DM_2-DM_1=√{12}-2$.
La distance $M_1M_2$ vaut environ 1,464 km, c'est à dire environ $1\,464$ m.

2. La distance $M_1M_2$ a été parcourue en 12 minutes et 12 secondes.
Or: $12×60+12=732$.
Donc les $1\,464$ mètres ont été parcourus en 732 secondes.
On calcule: ${1464}/{732}=2$.
La vitesse ascensionnelle moyenne du ballon entre $M_1$ et $M_2$ est d'environ 2 m/s.
On rappelle qu'une heure contient $3\,600$ secondes, et qu'un kilomètre représente $1\,000$ mètres.
On calcule: $2×{3\,600}/{1\,000}=7,2$.
La vitesse ascensionnelle moyenne du ballon entre $M_1$ et $M_2$ est d'environ 7,2 km/h.

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