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Orthogonalité

Exercice 4

Partie A
Soit ABC un triangle n'ayant que des angles aigus. Soit H le projeté orthogonal de A sur [BC].

projeté orthogonal
  1. Montrer que l'aire $s$ de ABC vérifie les égalités: $s={BC×AC×\sin {C}↖{∧} }/{2}={BC×AB×\sin {B}↖{∧} }/{2}$

  2. On pose $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$.     Montrer que ${a}/{\sin {A}↖{\^}}={b}/{\sin {B}↖{\^}}={c}/{\sin {C}↖{\^}}$
    Ces égalités s'appellent la loi des sinus. On admettra qu'elles sont vraies pour n'importe quel triangle ABC (non aplati).

Partie B
Soit ABC un triangle tel que $AB=400$, ${A}↖{∧}=40°$ et ${B}↖{∧}=60°$.
Soit (BN) une droite passant par B selon le dessin suivant.
triangulation
On suppose que ${NBA}↖{∧}=15°$
Le point M est alors sur [BC], et (AM) et (BN) sont parallèles.

  1. Déterminer une mesure de ${MAB}↖{∧}$.
  2. Déterminer une mesure de ${BMA}↖{∧}$.
  3. A l'aide de la loi des sinus, déterminer les distances AM, MB et CB (arrondies à 0,01 près).
Solution...
Corrigé

Partie A

  1. projeté orthogonal
    H est le projeté orthogonal de A sur [BC].
    Donc $\sin {C}↖{∧} ={AH}/{AC}$ (dans le triangle AHC rectangle en H)
    Et par là: $AH=AC×\sin {C}↖{∧}$
    Par aileurs, comme H est le projeté orthogonal de A sur [BC], ABC a pour aire: $s={BC×AH }/{2}$.
    Donc finalement, on obtient: $s={BC×AC×\sin {C}↖{∧} }/{2}$
    Les rôles joués par B et C sont similaires. Donc, si on les permute dans les lignes qui précèdent, le raisonnement reste vrai.
    Et on obtient: $s={BC×AB×\sin {B}↖{∧} }/{2}$
    Donc l'aire $s$ de ABC vérifie les égalités: $s={BC×AC×\sin {C}↖{∧} }/{2}={BC×AB×\sin {B}↖{∧} }/{2}$

  2. On pose $a=BC$, $b=CA$ et $c=AB$.
    Les deux membres de droite de l'égalité précédente donnent: ${ a×b×\sin {C}↖{∧} }/{2}={a×c×\sin {B}↖{∧} }/{2}$
    Et donc, en multipliant par ${2}/{a}$, on obtient: $b×\sin {C}↖{∧}=c×\sin {B}↖{∧}$
    Et par là: ${b}/{\sin {B}↖{\^}}={c}/{\sin {C}↖{\^}}$
    Et, comme A, B et C jouent des rôles semblables, on obtient finalement:
    ${a}/{\sin {A}↖{\^}}={b}/{\sin {B}↖{\^}}={c}/{\sin {C}↖{\^}}$

Partie B
fig5

  1. Comme (AM) et (BN) sont parallèles, les angles alternes internes ${NBA}↖{∧}$ et ${MAB}↖{∧}$ ont même mesure, et donc ${MAB}↖{∧}={NBA}↖{∧}$
    Soit: ${MAB}↖{∧}=15°$

  2. Dans le triangle ABM, on a: ${MAB}↖{∧}+{ABM}↖{∧}+{BMA}↖{∧}=180°$.
    Soit: $15°+60°+{BMA}↖{∧}=180°$.
    Et donc: ${BMA}↖{∧}=105°$

  3. On applique la loi des sinus dans ABM.     ${MB}/{\sin {MAB}↖{∧}}={AM}/{\sin {ABM}↖{∧}}={AB}/{\sin {BMA}↖{∧}}$
    Soit: ${MB}/{\sin 15°}={AM}/{\sin 60°}={400}/{\sin 105°}$

    Et donc: $MB={400}/{\sin 105°}×\sin 15°≈$$107,18$
    Et: $AM={400}/{\sin 105°}×\sin 60°≈$ $358,63$

    Pour trouver CB, on applique la loi des sinus dans le triangle ABC.
    Tout d'abord, comme ${A}↖{∧}=40°$ et ${B}↖{∧}=60°$, on a ${C}↖{∧}=80°$
    Or, la loi des sinus donne: ${CB}/{\sin {CAB}↖{∧}}={AC}/{\sin {ABC}↖{∧}}={AB}/{\sin {BCA}↖{∧}}$
    Donc: ${CB}/{\sin 40°}={AC}/{\sin 60°}={400}/{\sin 80°}$

    Et par là: $CB={400}/{\sin 80°}×\sin 40°≈$$261,08$

Les calculs précédents sont des calculs de triangulation. Répétés de très nombreuses fois, ils ont permis à Delambre et Méchain, entre 1791 et 1798, de calculer la longueur de l’arc de méridien reliant Dunkerque à Barcelone afin de définir le mètre comme étant le dix millionième du quart du méridien terrestre.
En effet, à l'époque, l'unité de longueur en France était la toise (environ 1,949 m), et la Révolution Française voulait imposer un système métrique basé sur des considérations universelles. L'arc de méridien répondait à ces exigences car il n'appartient à aucune nation.
Pour information, la droite (AN) pointait vers le Nord. Le segment [AM] était un morceau de méridien. Et la somme de toutes les distances de ce type a donné la longueur totale de l'arc de méridien.
La difficulté initiale était de mesurer une base AB avec précision, chose faite grace à 4 règles de platine de 2 toises chacune, la distance AB initiale étant d'environ 11 km. La mesure des angles était effectuée en utilisant cercle répétiteur. Les calculs étaient en réalité plus complexes à cause des différences d'altitude entre les points.
Ci-dessous un extrait des mesures réelles.

Delambre

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