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Exercice 1

  1. Résoudre l'équation (1): $2x^2-18=0$.
  2. Résoudre l'équation (2): $5(x+2)^2-80=0$.
  3. Résoudre l'équation (3): $x^2+3x-6=-1+3x$.
  4. Résoudre l'équation (4): $(2x-1)(x^2-10)=0$.
  5. Résoudre l'équation (5): $x^2+3=0$.
  6. Résoudre l'inéquation (6): $x^2<9$.
  7. Résoudre l'inéquation (7): $x^2>9$.
  8. Résoudre l'inéquation (8): $-3x^2≤-11$.
  9. Résoudre l'inéquation (9): $x^2+1≥0$.


Solution...
Corrigé

A retenir: dans une équation ou une inéquation dont le membre de droite est nul,
si le membre de gauche contient des $x$ uniquement dans un carré,
alors il est conseillé d'isoler ce carré.


  1. (1) $⇔$ $2x^2-18=0$ $⇔$ $2x^2=18$ $⇔$ $x^2={18}/{2}$ $⇔$ $x^2=9$
    On a isolé le carré.
    On obtient donc: (1) $⇔$ $x=√9$ ou $x=-√9$
    Donc: (1) $⇔$ $x=3$ ou $x=-3$
    S$=\{-3;3\}$
    A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2=a$ $⇔$ $x=√a$ ou $x=-√a$.

  2. (2) $⇔$ $5(x+2)^2-80=0$ $⇔$ $5(x+2)^2=80$ $⇔$ $(x+2)^2={80}/{5}$ $⇔$ $(x+2)^2=16$
    On a isolé le carré.
    On obtient donc: (2) $⇔$ $x+2=√{16}$ ou $x+2=-√{16}$
    Donc: (2) $⇔$ $x=4-2=2$ ou $x=-4-2=-6$
    S$=\{-6;2\}$
    A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2=a$ $⇔$ $x=√a$ ou $x=-√a$.

  3. (3) $⇔$ $x^2+3x-6=-1+3x$ $⇔$ $x^2+3x-6+1-3x=0$ $⇔$ $x^2-5=0$ $⇔$ $x^2=5$
    Donc: (3) $⇔$ $x=√5$ ou $x=-√5$
    S$=\{-√5;√5\}$

  4. (4) $⇔$ $(2x-1)(x^2-10)=0$ $⇔$ $2x-1=0$ ou $x^2-10=0$.
  5. A retenir: un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un d'eux est nul.
    On continue donc: (4) $⇔$ $x={1}/{2}$ ou $x^2=10$
    Et donc: (4) $⇔$ $x=0,5$ ou $x=-√{10}$ ou $x=√{10}$
    S$=\{-√{10};0,5;√{10}\}$

  6. (5)$⇔$ $x^2+3=0$ $⇔$ $x^2=-3$
    Or, un carré est positif ou nul. Donc l'égalité $x^2=-3$ est absurde.
    Donc l'équation (5) n'a pas de solution.
    S$= ∅$

  7. Pour résoudre une telle inéquation, il faut avoir en tête l'allure de la parabole représentant la fonction carré
    fig11
    (6) $⇔$ $x^2<9$ $⇔$ $-√{9}$<$x$<$√{9}$
    Soit: (6) $⇔$ $-3$<$x$<$3$
    S$=]-3;3[$
    A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2$<$a$ $⇔$ $-√{a}$<$x$<$√{a}$.

  8. Pour résoudre une telle inéquation, il faut avoir en tête l'allure de la parabole représentant la fonction carré (voir inéquation (6))
    (7) $⇔$ $x^2>9$ $⇔$ $x$<$-√{9}$ ou $x$>$√{9}$
    Soit: (7) $⇔$ $x$<$-3$ ou $x$>$3$
    S$=]-\∞;-3$$]∪[$$3;+\∞[$
    A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2≥a$ $⇔$ $x≤-√{a}$ ou $x≥√{a}$.

  9. (8) $⇔$ $-3x^2≤-11$ $⇔$ $x^2≥{-11}/{-3}$
    A retenir: une inégalité change de sens si on divise chacun de ses membres par un nombre strictement négatif.
    On continue alors: (8) $⇔$ $x^2≥{11}/{3}$ $⇔$ $x≤-√{{11}/{3}}$ ou $x≥√{{11}/{3}}$
    S$=]-\∞;-√{{11}/{3}}$$]∪[$$√{{11}/{3}};+\∞[$
    A retenir: si $a≥0$, alors: $x^2≥a$ $⇔$ $x≤-√{a}$ ou $x≥√{a}$.

  10. (9) $⇔$ $x^2≥-1$
    Or, un carré est positif ou nul. Donc l'inégalité $x^2≥-1$ est toujours vraie.
    Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation (9) est l'ensemble de tous les réels.
    S$=ℝ$

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