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Fonctions de référence

Exercice 2


  1. On sait que si $0≤a$<$b$, alors $a^2$<$b^2$
    Quelle qualité de la fonction carré permet de justifier l'affirmation précédente.
  2. On sait que si $a$<$b≤0$, alors $a^2$>$b^2$
    Quelle qualité de la fonction carré permet de justifier l'affirmation précédente.
  3. Sans calculatrice, comparer $(-1,4)^2$ à $(-√2)^2$.
  4. On suppose que $2$<$x$<$3$. En déduire un encadrement de $x^2$, puis montrer que $|x^2-6,5|<2,5$
  5. On suppose que $-5$<$x$<$-3$. En déduire un encadrement de $x^2$
  6. On suppose que $-2$<$x$<$3$. En déduire un encadrement de $x^2$
  7. On suppose que $2$<$x$<$4$. Montrer que $|0,25x^2-2,5|<1,5$


Solution...
Corrigé


  1. Si $0≤a$<$b$, alors $a^2$<$b^2$
    En effet, la fonction carré est strictement croissante sur $[0; +∞[$

  2. Si $a$<$b≤0$, alors $a^2$>$b^2$
    En effet, la fonction carré est strictement décroissante sur $]-∞;0]$

  3. On a: $√2≈1,41$. Donc: $1,4$<$√2$.
    Et par là: $-√2$<$-1,4$.
    Et donc: $(-√2)^2$>$(-1,4)^2$, car la fonction carré est strictement croissante sur $]-∞;0]$.

  4. On a: $2$<$x$<$3$.
    Donc: $2^2$<$x^2$<$3^2$, car la fonction carré est strictement croissante sur $[0; +∞[$.
    Soit: 4<$x^2$<9.
    Ceci est bien un encadrement de $x^2$
    Or l'intervalle $[4;9]$ a pour centre $6,5$ et pour amplitude $5=2×2,5$.
    La distance entre $x^2$ et $6,5$ est strictement inférieure à $2,5$
    On obtient donc: $|x^2-6,5|<2,5$

  5. On a: $-5$<$x$<$-3$.
    Donc: $(-5)^2$>$x^2$>$(-3)^2$, car la fonction carré est strictement décroissante sur $]-∞;0]$.
    Soit: 25>$x^2$>9.
    Ceci est bien un encadrement de $x^2$

  6. On a: $-2$<$x$<$3$.
    Donc: $-2$<$x≤0$   ou     $0≤x$<3
    Donc: $(-2)^2$>$x^2≥0^2$   ou     $0^2≤x^2$<$3^2$, d'après les variations de la fonction carré.
    Soit: $4$>$x^2≥0$   ou     $0≤x^2$<$9$
    Et par là: $0≤x^2$<$9$
    Ceci est bien un encadrement de $x^2$

  7. On a: $2$<$x$<$4$.
    Donc: $2^2$<$x^2$<$4^2$, car la fonction carré est strictement croissante sur $[0; +∞[$.
    Soit: $4$<$x^2$<$16$
    Donc: $0,25×4$<$0,25×x^2$<$0,25×16$ (multiplier les membres d'une inégalité par un nombre strictement positif n'en change pas le sens)
    Soit: $1$<$0,25x^2$<$4$
    On a là un encadrement de $0,25x^2$
    Or l'intervalle $[1;4]$ a pour centre $2,5$ et pour amplitude $3=2×1,5$.
    La distance entre $0,25x^2$ et $2,5$ est strictement inférieure à $1,5$
    On obtient donc: $|0,25x^2-2,5|<1,5$

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