Les Maths en Seconde

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Fonctions de référence

Exercice 3

1. On suppose que $m(x)=x^2+3$.
Montrer que la fonction $m$ admet 3 comme minimum, et que ce minimum est atteint pour $x=0$.
2. On suppose que $p(x)=-2(-x-3)^2-7$.
Montrer que la fonction $m$ admet $-7$ comme maximum, et que ce maximum est atteint pour $x=-3$.


Solution...
Corrigé

1. A retenir: le minimum d'une fonction, s'il existe, est la plus petite de ses images.
Pour montrer que la fonction $m$ admet 3 comme minimum, et que ce minimum est atteint pour $x=0$,
il suffit de montrer que:
pour tout nombre réel $x$, $m(x)≥m(0)$.

On commence par calculer: $m(0)=0^2+3=3$.
Il suffit donc de montrer que: pour tout nombre réel $x$, $m(x)≥3$.
Or on a: $x^2≥0$ (car le membre de gauche est un carré).
Et donc: $x^2+3≥0+3$.
Et par là: pour tout nombre réel $x$, $m(x)≥3$.
Donc, finalement, $m$ admet 3 comme minimum, et ce minimum est atteint pour $x=0$.
A retenir: un carré est toujours positif ou nul.

2. A retenir: le maximum d'une fonction, s'il existe, est la plus grande de ses images.
Pour montrer que la fonction $p$ admet $-7$ comme maximum, et que ce maximum est atteint pour $x=-3$,
il suffit de montrer que:
pour tout nombre réel $x$, $p(x)≤p(-3)$.

On commence par calculer: $p(-3)=-2×(-(-3)-3)^2-7=-2×(3-3)^2-7=-2×0-7=-7$.
Il suffit donc de montrer que: pour tout nombre réel $x$, $p(x)≤-7$.
On a: $(-x-3)^2≥0$ (car le membre de gauche est un carré).
Donc: $-2(-x-3)^2≤0$ (car on a multiplié chaque membre de l'inéquation par un nombre strictement négatif).
Et donc: $-2(-x-3)^2-7≤0-7$
Et par là: pour tout nombre réel $x$, $p(x)≤-7$.
Donc, finalement, $p$ admet $-7$ comme maximum, et ce maximum est atteint pour $x=-3$.
A retenir: un carré est toujours positif ou nul.

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