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Exercice 4


  1. Montrer que: $-6x^2-x+1=-6(x-{1}/{3})(x+0,5)$.
    Résoudre l'équation suivante: $-x+1=6x^2$
  2. Résoudre l'équation suivante: $x^2+6x+9=0$
  3. Résoudre l'équation suivante: $2x^2-14x=x^2-49$
  4. Montrer que: $-5x^2+x-3=-5(x-0,1)^2-2,95$.
    Résoudre l'équation suivante:$-5x^3+x^2-3x=0$
  5. Résoudre l'équation suivante: $x^3=9x$
  6. Résoudre l'équation suivante: $(x-1)(x^2+x)=0$
  7. Résoudre l'équation suivante: ${x^2+7}/{x^2-6}=0$
  8. Résoudre l'équation suivante: $3(x-1)^2-75=0$


Solution...
Corrigé

Pour résoudre une équation, préciser si besoin le domaine d'étude.
Puis rendre le membre de droite égal à 0.
Si le membre de gauche est une fonction affine, alors la résolution est facile.
Sinon, on peut tenter:
soit de factoriser pour obtenir un produit,
soit de réduire au même dénominateur pour obtenir un quotient.
Si rien ne permet de conclure et si un carré apparait, alors on peut essayer de présenter l'équation sous la forme $(g(x))^2=k$, où $k$ est un nombre réel, et $g(x)$ une fonction de $x$.


Dans ce qui suit, si le domaine d'étude de l'équation est $\ℝ$, alors il n'est pas précisé.

  1. On a: $-6(x-{1}/{3})(x+0,5)=(-6x+2)(x+0,5)=-6x^2-3x+2x+1=-6x^2-x+1$.
    A retenir: pour montrer une égalité, ne pas partir de l'égalité à obtenir.
    Il faut choisir l'un des 2 membres, et montrer qu'il est égal à l'autre.


    Résolution de l'équation (E):
    (E) $⇔$ $-x+1=6x^2$ $⇔$ $-6x^2-x+1=0$ $⇔$ $-6(x-{1}/{3})(x+0,5)=0$
    On a rendu le membre de droite égal à 0, puis on a factorisé le membre de gauche.
    On obtient donc: (E) $⇔$   $-6=0$ (ce qui est absurde)   ou   $x-{1}/{3}=0$   ou   $x+0,5=0$
    Soit: (E) $⇔$ $x={1}/{3}$ ou $x=-0,5$
    Donc S$=\{-0,5;{1}/{3}\}$

  2. Résolution de l'équation (E):
    (E) $⇔$ $x^2+6x+9=0$ $⇔$ $x^2+2×x×3+3^2=0$
    On va factoriser le membre de gauche.
    On obtient: (E) $⇔$ $(x+3)^2=0$
    A retenir: l'identité remarquable utilisée ci-dessus: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=3$.
    On obtient finalement: (E) $⇔$ $x+3=0$ $⇔$ $x=-3$
    Donc S$=\{-3\}$

  3. Résolution de l'équation (E):
    (E) $⇔$ $2x^2-14x=x^2-49$ $⇔$ $x^2-14x+49=0$ $⇔$ $x^2-2×x×7+7^2=0$
    Soit: (E) $⇔$ $(x-7)^2=0$
    A retenir: l'identité remarquable utilisée ci-dessus: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=7$.
    On obtient finalement: (E) $⇔$ $x-7=0$ $⇔$ $x=7$
    Donc S$=\{7\}$

  4. $-5(x-0,1)^2-2,95=-5(x^2-0,2x+0,01)-2,95=-5x^2+x-0,05-2,95=-5x^2+x-3$

    Résolution de l'équation (E):
    (E) $⇔$ $-5x^3+x^2-3x=0$ $⇔$ $x(-5x^2+x-3)=0$
    On a commencé à factoriser le membre de gauche,
    dans le but d'utiliser la propriété:
    un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un d'eux est nul.

    On obtient donc: (E) $⇔$ $x=0$ ou $-5x^2+x-3=0$
    Résolvons la seconde équation.
    $-5x^2+x-3=0$ $⇔$ $-5(x-0,1)^2-2,95=0$
    On a utilisé l'égalité démontrée ci-dessus.
    Donc: $-5x^2+x-3=0$ $⇔$ $-5(x-0,1)^2=2,95$ $⇔$ $(x-0,1)^2={2,95}/{-5}$
    La dernière égalité est absurde car un carré ne peut pas être strictement négatif.
    Donc cette seconde équation n'a pas de solution.
    Donc finalement, il ne reste que la solution nulle.
    S$=\{0\}$

  5. Résolution de l'équation (E):
    (E) $⇔$ $x^3=9x$$⇔$ $x^3-9x=0$ $⇔$ $x(x^2-9)=0$
    On a commencé à factoriser le membre de gauche,
    dans le but d'utiliser la propriété:
    un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un d'eux est nul.

    On obtient donc: (E) $⇔$ $x=0$ ou $x^2-9=0$
    On remarque que l'on peut isoler le carré de la seconde équation.
    On obtient donc: (E) $⇔$ $x=0$ ou $x^2=9$ $⇔$ $x=0$ ou $x=3$ ou $x=-3$
    Donc finalement: S$=\{-3;0;3\}$

  6. Résolution de l'équation (E):
    (E) $⇔$ $(x-1)(x^2+x)=0$ $⇔$ $x-1=0$ ou $x^2+x=0$
    Attention! On ne peut pas présenter la seconde équation sous la forme $(g(x))^2=k$.
    Par contre, on peut facilement factoriser!

    On obtient donc: (E) $⇔$ $x=1$ ou $x(x+1)=0$
    Soit: (E) $⇔$ $x=1$ ou $x=0$ ou $x+1=0$
    Soit: (E) $⇔$ $x=1$ ou $x=0$ ou $x=-1$
    Donc finalement: S$=\{-1;0;1\}$

  7. Nous sommes en présence d'un quotient. Il peut y avoir des valeurs interdites!
    On sait que: $x^2-6=0$ $⇔$ $x^2=6$ $⇔$ $x=√6$ ou $x=-√6$.
    Donc $\D_E=\ℝ ∖\{-√6;√6\}$
    Le domaine d'étude ci-dessus nous informe que ni $-√6$, ni $√6$ ne peut être solution de l'équation.

    Résolution de l'équation (E):
    Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul
    Donc: (E) $⇔$ ${x^2+7}/{x^2-6}=0$ $⇔$ $x^2+7=0$
    Or $x^2+7$ est la somme d'un carré et de 7. Il reste donc strictement positif, et ne vaut jamais $0$.
    Donc, finalement: S$= ∅$

  8. Résolution de l'équation (E):
    (E) $⇔$ $3(x-1)^2-75=0$ $⇔$ $3(x-1)^2=75$ $⇔$ $(x-1)^2={75}/{3}$
    Nous avons isolé le carré dans le membre de gauche. Le membre de droite est une constante.
    On obtient donc: (E) $⇔$ $(x-1)^2=25$
    Soit: (E) $⇔$ $x-1=√{25}=5$ ou $x-1=-√{25}=-5$
    Soit: (E) $⇔$ $x=1+5$ ou $x=1-5$
    Soit: (E) $⇔$ $x=6$ ou $x=-4$
    Donc finalement: S$=\{-4;6\}$

A retenir! Les techniques de factorisation:
soit le facteur commun est évident, soit on tente d'utiliser une identité remarquable, soit la factorisation a été proposée antérieurement.

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