Les Maths en Seconde

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Fonctions de référence

Exercice 5

Les fonctions $f$ et $g$ définies sur [0;5] sont tracées ci-dessous.
fig4

  1. Que peut-on affirmer sur la nature de la fonction $g$?
  2. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=0$.
  3. Résoudre graphiquement l'inéquation $f(x)>0$.
  4. Résoudre graphiquement l'équation $f(x)=g(x)$.
  5. On admet désormais que $f(x)=x^2-4x+3$ et que $g(x)=x-1$.
    Montrer que $f(x)=(x-1)(x-3)$
    Retrouver algébriquement les 4 résultats précédents.

Solution...
Corrigé
  1. $g$ est représentée par un segment de droite. Donc $g$ est affine.

  2. $f(x)=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=3$
    S$=\{1;3\}$

  3. $f(x)>0$ $⇔$ $0≤x$<$1$ ou $3$<$x≤5$.
    S$=[0;1[∪]3;5]$

  4. $f(x)=g(x)$ $⇔$ $x=1$ ou $x=4$
    S$=\{1;4\}$

  5. On développe: $(x-1)(x-3)=x^2-3x-x+3=x^2-4x+3=f(x)$.
    On a bien montré que $f(x)=(x-1)(x-3)$.
    A retenir:
    $f(x)$ apparaît sous 2 formes possibles: une forme factorisée, et une forme développée.
    Il conviendra de choisir la plus adaptée en fonction de la question posée.


    Retrouvons le premier résultat.
    On rappelle que $g(x)=x-1$.
    $g(x)$ est du type $ax+b$, donc il est clair que $g$ est affine.

    Retrouvons le second résultat.
    $f(x)=0$ $⇔$ $(x-1)(x-3)=0$
    A retenir: un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un d'eux est nul.
    Cette propriété nous a insité à choisir la forme factorisée de $f$.

    On obtient donc: $f(x)=0$ $⇔$ $x-1=0$ ou $x-3=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=3$
    S$=\{1;3\}$

    Retrouvons le troisième résultat.
    $f(x)>0$ $⇔$ $(x-1)(x-3)$>$0$
    Le membre de gauche est un produit $p$ dont nous allons tout d'abord trouver le signe.
    $x-1$ est une fonction affine s'annulant pour $x=1$.
    De plus, son coefficient directeur est strictement positif (il vaut 1).
    $x-3$ est une fonction affine s'annulant pour $x=3$.
    De plus, son coefficient directeur est strictement positif (il vaut 1).
    D'où le tableau de signes du produit $p$.
    fig6
    Or, on cherche pour quels $x$ ce produit $p$ est strictement positif.
    Donc: S$=[0;1[∪]3;5]$
    A retenir: pour dresser le tableau de signes d'une fonction affine (non constante), il suffit de repérer pour quelle valeur elle s'annule. A droite de cette valeur, elle est du signe de son coefficient directeur.

    Retrouvons le quatrième résultat.
    A savoir: dans une équation, il est conseillé de commencer par rendre le membre de droite égal à 0.
    Puis, si le membre de gauche n'est pas une fonction affine, alors il est conseillé d'essayer soit de le factoriser, soit de réduire les termes au même dénominateur.
    Ici, nous allons factoriser.

    $f(x)=g(x)$ $⇔$ $(x-1)(x-3)=x-1$ $⇔$ $(x-1)(x-3)-(x-1)=0$
    Nous factorisons le membre de gauche.
    On obtient: $f(x)=g(x)$ $⇔$ $(x-1)((x-3)-1)=0$ $⇔$ $(x-1)(x-4)=0$
    Comme un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul, on obtient:
    $f(x)=g(x)$ $⇔$ $x-1=0$ ou $x-4=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=4$
    S$=\{1;4\}$
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