Corrigé

• Soit $f$ la fonction définie sur $[-2;10]$ par $f(x)=-7x+9$.
  On a: $f(a)-f(b)=-7a+9-(-7b+9)=-7a+9-7b-9=-7(a-b)$
  Or, comme $a< b$, on a: $a-b<0$.
  Et comme $-7<0$, on en déduit que $-7(a-b)>0$, soit: $f(a)-f(b)>0$
  On a donc montré que, si $-2≤a< b≤10$, alors $f(a)>f(b)$
  Par conséquent, $f$ est strictement décroissante sur $[-2;10]$.
  Ce résultat était évident !
  En effet, $f$ est une fonction affine de coefficient directeur $-7$ strictement négatif !


• Soit $g$ la fonction définie sur $[-2;10]$ par $g(x)=5(x+2)^2+7$.
  On a: $g(a)-g(b)=5(a+2)^2+7-(5(b+2)^2+7)=5(a+2)^2+7-5(b+2)^2-7=5((a+2)^2-(b+2)^2)$
  Soit: $g(a)-g(b)=5×((a+2)-(b+2))×((a+2)+(b+2))$ (on a utilisé la 3ème identité remarquable)
  On obtient finalement: $g(a)-g(b)=5(a+2-b-2)(a+2+b+2)=5(a-b)(a+b+4)$
  Nous allons étudier le signe de ce produit.
  Comme $a< b$, on a: $a-b<0$.
  De plus, comme $-2≤a< b≤10$, on a: $-2≤a$ et $-2< b$, et par là: $-2+(-2)< a+b$. Et donc: $0< a+b+4$.
  Enfin, on a $5>0$.
  Finalement, on en déduit que $5(a-b)(a+b+4)<0$, soit: $g(a)-g(b)<0$
  On a donc montré que, si $-2≤a< b≤10$, alors $g(a)< g(b)$
  Par conséquent, $g$ est strictement croissante sur $[-2;10]$.
  


• Soit $h$ la fonction définie sur $[-2;10]$ par $h(x)={-4}/{x-10}-9$.
  On a: $h(a)-h(b)={-4}/{a-10}-9-({-4}/{b-10}-9)={-4}/{a-10}-9+{4}/{b-10}+9={-4}/{a-10}+{4}/{b-10}$
  Soit: $h(a)-h(b)={-4×(b-10)}/{(a-10)×(b-10)}+{4×(a-10)}/{(b-10)×(a-10)}$
  Soit: $h(a)-h(b)={-4b+40+4a-40}/{(b-10)×(a-10)}$
  Soit: $h(a)-h(b)={4(a-b)}/{(b-10)×(a-10)}$
  Nous allons étudier le signe de ce quotient.
  Comme $a< b$, on a: $a-b<0$.
  De plus, comme $-2≤a< b<10$, on a: $b-10<0$ et $a-10<0$.
  Enfin, on a: $4>0$
  Finalement, on en déduit que $h(a)-h(b)<0$.
  On a donc montré que, si $-2≤a< b<10$, alors $h(a)< h(b)$
  Par conséquent, $h$ est strictement croissante sur $[-2;10[$.
  


• Soit $l$ la fonction définie sur $[-2;10]$ par $l(x)=3x^2-12x+1$.
  On a: $l(a)-l(b)=3a^2-12a+1-3b^2+12b-1=3(a^2-b^2)-12(a-b)$.
  Soit: $l(a)-l(b)=3(a-b)(a+b)-12(a-b)=(a-b)(3(a+b)-12)$
  Nous allons étudier le signe de ce produit.
  Comme $a< b$, on a: $a-b<0$.
  Plaçons nous sur l'intervalle $[-2;2]$.
  On a $a<2$ et $b≤2$. Et donc: $a+b<4$, et donc $3(a+b)<12$, et par là: $3(a+b)-12<0$
  Finalement, on en déduit que $l(a)-l(b)>0$.
  On a donc montré que, si $-2≤a< b≤2$, alors $l(a)> l(b)$
  Par conséquent, $l$ est strictement décroissante sur $[-2;2]$.
  Passons au cas de l'intervalle $[-2;2]$.
  On a $2≤a$ et $2< b$. Et donc, de même, on obtient: $3(a+b)-12>0$
  Finalement, on en déduit que $l(a)-l(b)<0$.
  On a donc montré que, si $2≤a< b≤10$, alors $l(a)< l(b)$
  Par conséquent, $l$ est strictement croissante sur $[2;10]$.
  Finalement, $l$ est strictement décroissante sur $[-2;2]$, puis strictement croissante sur $[2;10]$.
  Comme $l(-2)=37$, que $l(2)=-11$ et que $l(10)=181$, on en déduit que le minimum de $l$ est $-11$ et que son maximum est 181.


• Soit $m$ la fonction définie sur $[-2;10]$ par $m(x)=√ (x+3)$.
  On a: $m(a)-m(b)=√ (a+3)-√ (b+3)={(√ (a+3)-√ (b+3))×(√ (a+3)+√ (b+3))}/{√ (a+3)+√ (b+3)}$
  Soit: $m(a)-m(b)={(√ (a+3))^2-(√ (b+3))^2}{√ (a+3)×√ (b+3)}$
  Soit: $m(a)-m(b)={a+3-(b+3)}{√ (a+3)×√ (b+3)}$
  Soit: $m(a)-m(b)={a-b}/{√ (a+3)+√ (b+3)}$
  Nous allons étudier le signe de ce quotient.
  Le dénominateur est évidemment strictement positif.
  Et, comme $a< b$, on a: $a-b<0$.
  Donc: on en déduit que $l(a)-l(b)<0$.
  On a donc montré que, si $-2≤a< b<10$, alors $l(a)< l(b)$
  Par conséquent, $l$ est strictement croissante sur $[-2;10[$.