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Fonctions de référence

Exercice 6

La fonction $h$ définie sur [0;5] est tracée ci-dessous.
fig5

  1. Résoudre graphiquement l'équation $h(x)=0$.
  2. Résoudre graphiquement l'inéquation $h(x)>0$.
  3. Résoudre graphiquement l'équation $h(x)=-2$.
  4. On admet désormais que $h(x)=-0,5x^2+2,5x-2$.
    Montrer que $h(x)=(-0,5x+2)(x-1)$.
    Retrouver algébriquement les 3 résultats précédents.

Solution...
Corrigé
  1. $h(x)=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=4$
    S$=\{1;4\}$

  2. $h(x)>0$ $⇔$ $1$<$x$<$4$.
    S$=]1;4[$

  3. $h(x)=-2$ $⇔$ $x=0$ ou $x=5$
    S$=\{0;5\}$

  4. On a: $(-0,5x+2)(x-1)=-0,5x^2+0,5x+2x-2=-0,5x^2+2,5x-2=h(x)$.
    On a bien montré que $h(x)=(-0,5x+2)(x-1)$.

    A retenir:
    $h(x)$ apparaît sous 2 formes possibles: une forme factorisée, et une forme développée.
    Il conviendra de choisir la plus adaptée en fonction de la question posée.


    Retrouvons le premier résultat.
    $h(x)=0$ $⇔$ $(-0,5x+2)(x-1)=0$ $⇔$ $-0,5x+2=0$ ou $x-1=0$ $⇔$ $x={-2}/{-0,5}=4$ ou $x=1$
    S$=\{1;4\}$
    A retenir: un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un d'eux est nul.
    Cette propriété nous a insité à choisir la forme factorisée de $h$.


    Retrouvons le second résultat.
    $h(x)>0$ $⇔$ $(-0,5x+2)(x-1)$>$0$
    Le membre de gauche est un produit $p$ dont nous allons tout d'abord trouver le signe.
    $-0,5x+2$ est une fonction affine s'annulant pour $x=4$.
    De plus, son coefficient directeur est strictement négatif (il vaut $-0,5$).
    $x-1$ est une fonction affine s'annulant pour $x=1$.
    De plus, son coefficient directeur est strictement positif (il vaut 1).
    D'où le tableau de signes du produit $p$.
    fig7
    Or, on cherche pour quels $x$ ce produit $p$ est strictement positif.
    Donc: S$=]1;4[$
    A retenir: pour dresser le tableau de signes d'une fonction affine (non constante), il suffit de repérer pour quelle valeur elle s'annule. A droite de cette valeur, elle est du signe de son coefficient directeur.

    Retrouvons le troisième résultat.
    A savoir: dans une équation, il est conseillé de commencer par rendre le membre de droite égal à 0.
    Puis, si le membre de gauche n'est pas une fonction affine, alors il est souvent conseillé d'essayer soit de le factoriser, soit de réduire les termes au même dénominateur.
    Ici, nous allons factoriser (après avoir réduit).

    $h(x)=-2$ $⇔$ $-0,5x^2+2,5x-2=-2$ $⇔$ $-0,5x^2+2,5x-2+2=0$
    Remarque: la présence du $-2$ à droite nous a insité à choisir la forme développée de $h(x)$.
    On obtient alors: $h(x)=-2$ $⇔$ $-0,5x^2+2,5x=0$
    Soit: $h(x)=-2$ $⇔$ $x(-0,5x+2,5)=0$ $⇔$ $x=0$ ou $-0,5x+2,5=0$ $⇔$ $x=0$ ou $x=5$
    S$=\{0;5\}$
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