Statistiques
Exercice 1
Le tableau suivant donne les âges.
des élèves du lycée Glandouille.
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les calculs seront détaillés, et les résultats seront arrondis
si besoin à 0,001 près.
1.a. Quel est l'âge moyen $\ov{x}$ des élèves du lycée?
1.b. Déterminer à la calculatrice l'écart-type $σ_x$ de la série proposée
2. 
On rappelle que la médiane d'une série est la valeur centrale
ou la moyenne des 2 valeurs centrales de la série ordonnée.
Déterminer la médiane $m$, le premier quartile $Q_1$ et le troisème
quartile $Q_3$ de cette série.
3. Déterminer l'écart-interquartiles $e$ de cette série.
4. Environ $t%$ des élèves ont un âge compris entre $Q_1$ et $Q_3$. Combien vaut $t$.
5. Une série du même type est réalisée au lycée Kouldousse. Les deux lycées ont exactement le même nombre
d'élèves, et ces derniers admettent la même répartition que ceux du lycée Glandouille pour les élèves de moins de 18 ans.
La médiane et l'écart-interquartiles du lycée Kouldousse sont les mêmes que ceux du lycée Glandouille.
Mais la moyenne du lycée Kouldousse est supérieure de plus de 0,3 année à celle du lycée Glandouille.
Proposer une répartition possible expliquant cela.
Calculer l'écart-type de la nouvelle série. Que doit-on constater?
Solution...
Corrigé
1.a.
$\ov{x}={2×14+20×15+...+5×20}/{2+20+...+5}={2×14+20×15+...+5×20}/{221}≈17,018$
L'âge moyen $\ov{x}$ des élèves du lycée Glandouille est d'environ 17,018 années.
1.b. A la calculatrice (en mode STAT), on obtient: $σ_x≈1,218$ années.
2. L'effectif total est de 221. Comme cet effectif est impair, la médiane de la série ordonnée est sa valeur centrale.
Or $221=110+1+110$. La médiane est donc la 111ème valeur de la série
ordonnée. La médiane $m$ est donc égale à 17 années.
${25}/{100}×221=55,25$. Donc le premier quartile $Q_1$ est la 56ème valeur de la série ordonnée. Le
premier quartile $Q_1$ est donc égal à 16 années.
${75}/{100}×221=165,75$. Donc le troisième quartile $Q_3$ est la 166ème valeur de la série ordonnée. Le
troisième quartile $Q_3$ est donc égal à 18 années.
3. On a: $Q_3-Q_1=18-16=2$. Donc l'écart-interquartiles $e$ de cette série est de 2 ans.
4. On a $t=50$, car environ $50%$ des élèves ont un âge compris entre $Q_1$ et $Q_3$.
5. La médiane et l'écart-interquartiles du lycée Kouldousse sont les mêmes que ceux du lycée Glandouille.
Mais la moyenne du lycée Kouldousse est supérieure à celle du lycée
Glandouille.
On sait que la moyenne est très sensible aux valeurs extrêmes d'une série, contrairement à
la médiane et à l'écart-interquartiles.
Il suffit donc que les répartitions des élèves des 2 lycées soient similaires, exceptés
pour les hautes valeurs, dont l'importance serait renforcée au lycée Kouldousse. Par exemple, nous
proposons la répartition suivante:
Nous obtenons ici:
$\ov{x}≈17,398$ $Q_1=16$ $Q_3=18$
$e=2$.
L'écart-type de cette série vaut environ $1,706$ année. Il est nettement supérieur à celui de la première série, ce qui est normal car cette seconde série est plus
dispersée.