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Statistiques

Exercice 2

Les moyennes en mathématique des élèves du lycée Glandouille sont résumées dans le tableau suivant:
fig3
On suppose que les répartitions des notes sont "régulières" à l'intérieur de chaque classe.
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les calculs seront détaillés, et les résultats seront arrondis si besoin à 0,001 près.
1. a. Déterminer les fréquences associées à chacune des classes du tableau.
Puis déterminer les fréquences cumulées croissantes associées à chacune des classes du tableau.
1. b. Quel pourcentage des élèves a une moyenne supérieure à 10?
2. Faire une figure représentant le polygone des fréquences cumulées croissantes de la série.
3. Soit $f_8$ le pourcentage d'élèves ayant une moyenne inférieurs à 8.
Déterminer graphiquement un encadrement d'amplitude $1%$ de $f_8$.
Soit $n$ le nombre d'élèves que cela représente. Donner un encadrement de $n$ d'amplitude 3.
4. Déterminer graphiquement la médiane $m$ de la série (arrondie à 0,1 près).
Que signifie cette valeur?
5. Nous allons représenter cette série par un histogramme, dans lequel l'aire de chaque rectangle sera proportionnelle à l'effectif associé.
Recopier et compléter le tableau suivant, donnant les hauteurs (arrondies éventuellement à 0,1 près) des rectangles de l'histogramme.
fig4
Puis construire l'histogramme de la série.
6. Déterminer la moyenne $\ov x$ de la série.


Solution...
Corrigé

1.a. Les fréquences et les fréquences cumulées croissantes associées à chacune des classes sont dans le tableau ci-dessous.
fig5
Par exemple:
on a calculé ${70}/{221}≈0,314$ pour obtenir la fréquence de $31,4 %$;
on a calculé $13,6 +31,7 +14= 59,3 $ pour obtenir la fréquence cumulée de $59,3 %$.

1. b. On constate que le pourcentage d'élèves ayant une moyenne strictement inférieure à 10 est d'environ $45,3%$.
Donc $54,7%$ des élèves a une moyenne supérieure à 10?

2. Le polygone des fréquences cumulées croissantes de la série est donné ci-dessous.
fig6
A retenir:
il est nécessaire d'associer au nombre 20 (extrémité droite de la dernière classe) la F.C.C. de $100%$.


3. Graphiquement, on constate que: $32%$<$f_8$<$33%$.
Or, on a: ${n}/{221}=f_8 $, et par là: $n=f_8 ×221$.
Pour $f_8=0,32$, on obtient: $f_8 ×221=70,72$
Pour $f_8=0,33$, on obtient: $f_8 ×221=72,93$
Par conséquent: $70$<$n$<$73$.

4. Graphiquement la médiane $m$ de la série est d'environ 10,7.
Environ $50%$ des élèves ont une note moyenne inférieure à 10,7.

5. Le tableau proposé est complété ci-dessous.
fig7
Considérons par exemple la colonne de la classe [12;15[.
Comme chaque aire est égale à 5 fois l'effectif associé, on obtient: $55×5=275$.
La largeur du rectangle est: $15-12=3$.
La hauteur du rectangle est: ${175}/{3}≈91,7$.

L'histogramme est tracé ci-dessous.
fig8

6. $\ov x={2,5×30+7,5×70+11×31+13,5×55+17,5×35}/{221}≈10,389$.
La moyenne de la série est d'environ 10,389.
A retenir: Dans ce calcul, chaque classe est remplacée par son milieu.

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