Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Trinômes

Exercice 3


  1. Montrer que: $-6x^2-x+1=-6(x-{1}/{3})(x+0,5)$.
    Résoudre l'équation suivante: $-x+1=6x^2$
  2. Résoudre l'équation suivante: $x^2+6x+9=0$
  3. Résoudre l'équation suivante: $2x^2-14x=x^2-49$
  4. Montrer que: $-5x^2+x-3=-5(x-0,1)^2-2,95$.
    Résoudre l'équation suivante:$-5x^3+x^2-3x=0$
  5. Résoudre l'équation suivante: $x^3=9x$
  6. Résoudre l'équation suivante: $(x-1)(x^2+x)=0$
  7. Résoudre l'équation suivante: ${x^2+7}/{x^2-6}=0$


Solution...
Corrigé
Pour résoudre une équation, préciser si besoin le domaine d'étude, puis rendre le membre de droite égal à 0.
Si le membre de gauche est une fonction affine (non constante), alors la résolution est facile.
Sinon, on peut tenter de factoriser, ou de réduire au même dénominateur.

Dans ce qui suit, si le domaine d'étude de l'équation est $\ℝ$, alors il n'est pas précisé.
  1. On a: $-6(x-{1}/{3})(x+0,5)=(-6x+2)(x+0,5)=-6x^2-3x+2x+1=-6x^2-x+1$.
    A retenir: pour montrer une égalité, ne pas partir de l'égalité à obtenir.
    Il faut choisir l'un des 2 membres, et montrer qu'il est égal à l'autre.

    Résolution:
    $-x+1=6x^2$ $⇔$ $-6x^2-x+1=0$ $⇔$ $-6(x-{1}/{3})(x+0,5)=0$
    Soit: $-x+1=6x^2$ $⇔$ $-6=0$ (ce qui est absurde) ou $x-{1}/{3}=0$ ou $x+0,5=0$
    Soit: $-x+1=6x^2$ $⇔$ $x={1}/{3}$ ou $x=-0,5$
    Donc S$=\{-0,5;{1}/{3}\}$

  2. Résolution:
    $x^2+6x+9=0$ $⇔$ $x^2+2×x×3+3^2=0$
    Soit: $x^2+6x+9=0$ $⇔$ $(x+3)^2=0$
    A retenir: l'identité remarquable utilisée ci-dessus: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=3$.
    On obtient finalement: $x^2+6x+9=0$ $⇔$ $x+3=0$ $⇔$ $x=-3$
    Donc S$=\{-3\}$

  3. Résolution:
    $2x^2-14x=x^2-49$ $⇔$ $x^2-14x+49=0$ $⇔$ $x^2-2×x×7+7^2=0$
    Soit: $2x^2-14x=x^2-49$ $⇔$ $(x-7)^2=0$
    A retenir: l'identité remarquable utilisée ci-dessus: $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ avec $a=x$ et $b=7$.
    On obtient finalement: $2x^2-14x=x^2-49$ $⇔$ $x-7=0$ $⇔$ $x=7$
    Donc S$=\{7\}$

  4. $-5(x-0,1)^2-2,95=-5(x^2-0,2x+0,01)-2,95=-5x^2+x-0,05-2,95=-5x^2+x-3$
    Résolution:
    $-5x^3+x^2-3x=0$ $⇔$ $-5(x-0,1)^2-2,95=0$ $⇔$ $-5(x-0,1)^2=2,95$ $⇔$ $(x-0,1)^2={2,95}/{-5}$
    La dernière égalité est absurde car un carré ne peut pas être strictement négatif.
    Donc l'équation n'a pas de solution.
    Donc S$=∅$

  5. $\D_E=\ℝ$
    $x^3=9x$ $⇔$ $x^3-9x=0$ $⇔$ $x(x^2-9)=0$ $⇔$ $x=0$ ou $x^2-9=0$
    Donc: $x^3=9x$ $⇔$ $x=0$ ou $x^2=9$ $⇔$ $x=0$ ou $x=3$ ou $x=-3$
    Donc finalement: S$=\{-3;0;3\}$

  6. $\D_E=\ℝ$
    $(x-1)(x^2+x)=0$ $⇔$ $x-1=0$ ou $x^2+x=0$
    Soit: $(x-1)(x^2+x)=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x(x+1)=0$
    Soit: $(x-1)(x^2+x)=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=0$ ou $x+1=0$
    Soit: $(x-1)(x^2+x)=0$ $⇔$ $x=1$ ou $x=0$ ou $x=-1$
    Donc finalement: S$=\{-1;0;1\}$

  7. Nous sommes en présence d'un quotient. Il peut y avoir des valeurs interdites!
    On a: $x^2-6=0$ $⇔$ $x^2=6$ $⇔$ $x=√6$ ou $x=-√6$.
    Donc $\D_E=\ℝ ∖\{-√6;√6\}$
    Un quotient est nul si et seulement si son numérateur est nul
    Donc: ${x^2+7}/{x^2-6}=0$ $⇔$ $x^2+7=0$
    Or $x^2+7$ est un trinôme, qui est la somme d'un carré et de 7. Il reste donc strictement positif, et ne vaut jamais $0$.
    Donc, finalement: S$= ∅$
A retenir! Les techniques de factorisation:
soit le facteur commun est évident, soit on tente d'utiliser une identité remarquable, soit la factorisation a été proposée antérieurement.

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