Les vecteurs
Exercice 10
Partie A
Soient A et B deux points distincts du plan.
Placer, lorsqu'il existe, le barycentre G des points pondérés $(A,a)$ et $(B,b)$ dans chacun des cas suivants.
1) $a=3$ et $b=4$
2) $a=-3$ et $b=-4$
3) $a=1$ et $b=-2$
4) $a=1$ et $b=0$
Partie B
Aux deux extrémités A et B d'une barre rigide de masse nulle sont fixés des poids de 2kg en A et de 5 kg en B.
Cette barre repose sur un triangle de sommet S.
Pour que la barre tienne en équilibre, un physicien explique qu'il faut que le point S coïncide avec le centre de gravité de l'ensemble barre-poids,
et que celui-ci se trouve au barycentre des points $(A,2)$ et $(B,5)$.
Placer le triangle de sommet S sur la figure suivante.
Corrigé
Partie A
Voici une figure convenable
Et voici quelques explications...
Cas 1: on obtient: ${AG}↖{→}={4}/{3+4}{AB}↖{→}={4}/{7}{AB}↖{→}$
Comme les coefficients sont de même signe, G est sur le segment [AB].
Ici, $|a|=3$ et $|b|=4$, et par là, B est plus près de G que A car $|a|<|b|$.
Cas 2: on constate que les coefficients sont proportionnels à ceux du cas 1 (avec un coefficient de proportionnalité égal à $-1$).
Par conséquent, le barycentre reste inchangé.
Cas 3: on obtient: ${AG}↖{→}={-2}/{1+(-2)}{AB}↖{→}={-2}/{-1}{AB}↖{→}=2{AB}↖{→}$
G est sur la droite (AB), mais comme les coefficients ne sont pas de même signe, G est à l'extérieur du segment [AB].
Ici, $|a|=1$ et $|b|=2$, et par là, B est plus près de G que A car $|a|<|b|$.
Cas 4: on obtient: ${AG}↖{→}={0}/{1+0}{AB}↖{→}=0{AB}↖{→}={0}↖{→}$
Par conséquent, A et G sont confondus.
Partie B
S se trouve au barycentre des points $(A,2)$ et $(B,5)$.
Par conséquent: ${AS}↖{→}={5}/{2+5}{AB}↖{→}={5}/{7}{AB}↖{→}$
D'où la figure ci-après.
