Les vecteurs
Exercice 11
Soient A, B et C trois points du plan tels que $3{AB}↖{→}-2{CB}↖{→}={0}↖{→}$.
- B est le barycentre de $(A,r_1 )$ et $(C,r_2)$.
Proposer un couple $(r_1,r_2)$ convenable. -
Montrer que : ${AB}↖{→}+2{AC}↖{→}={0}↖{→}$
Pour ce faire, il est posssible d'utiliser la relation de Chasles, ou d'appliquer une propriété sur les barycentres. -
Déterminer des coefficients $a$, $b$, $α$ et $β$ convenables pour que :
Cas 1: A soit le barycentre de $(B,b)$ et $(C,c)$
Cas 2: C soit le barycentre de $(A,α )$ et $(B,β)$ - Faire une figure.
Corrigé
- Comme : $3{AB}↖{→}-2{CB}↖{→}={0}↖{→}$, on obtient: $3{BA}↖{→}-2{BC}↖{→}={0}↖{→}$ (en multipliant les deux membre de l'égalité par $-1$).
Donc B est le barycentre de $(A,3 )$ et $(C,-2)$.
Donc on propose $(r_1,r_2)=(3,-2)$.
Tout couple de coefficients proportionnels à ceux-ci (et de somme non nulle) convient également. - Méthode 1
On a: $3{AB}↖{→}-2{CB}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $3{AB}↖{→}-2({CA}↖{→}+{AB}↖{→})={0}↖{→}$ (par la relation de Chasles)
Soit: $3{AB}↖{→}-2{CB}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $3{AB}↖{→}-2{CA}↖{→}-2{AB}↖{→}={0}↖{→}$
Soit: $3{AB}↖{→}-2{CB}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ ${AB}↖{→}+2{AC}↖{→}={0}↖{→}$ c.q.f.d.
Méthode 2
B est le barycentre de $(A,3 )$ et $(C,-2)$.
Donc: $ {AB}↖{→}={-2}/{3+(-2)}{AC}↖{→}$
Soit: $ {AB}↖{→}=-2{AC}↖{→}$
Et donc: ${AB}↖{→}+2{AC}↖{→}={0}↖{→}$ c.q.f.d.
- cas 1
On a vu que ${AB}↖{→}+2{AC}↖{→}={0}↖{→}$.
Par conséquent, A est le barycentre de $(B,1)$ et $(C,2)$
$b=1$ et $c=2$ conviennent.
Tout couple de coefficients proportionnels à ceux-ci (et de somme non nulle) convient également.
cas 2
Nous allons faire apparaître les vecteurs ${CA}↖{→}$ et ${CB}↖{→}$ pour obtenir une relation du type $α{CA}↖{→}+β{CB}↖{→}={0}↖{→}$.
On a: $3{AB}↖{→}-2{CB}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $3({AC}↖{→}+{CB}↖{→})-2{CB}↖{→}={0}↖{→}$ (par la relation de Chasles)
Soit: $3{AB}↖{→}-2{CB}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $3{AC}↖{→}+3{CB}↖{→}-2{CB}↖{→}={0}↖{→}$
Soit: $3{AB}↖{→}-2{CB}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $-3{CA}↖{→}+{CB}↖{→}={0}↖{→}$
Par conséquent, C est le barycentre de $(A,-3)$ et $(B,1)$
$α=-3$ et $β=1$ conviennent.
Tout couple de coefficients proportionnels à ceux-ci (et de somme non nulle) convient également.
Comme ${AB}↖{→}+2{AC}↖{→}={0}↖{→}$, on a: ${AB}↖{→}=-2{AC}↖{→}$.
On place A et C au hasard, et on en déduit la position du point B.
Voici une figure convenable
Remarques:
Comme C est le barycentre de $(A,-3)$ et $(B,1)$, on obtient ${AC}↖{→}={1}/{-3+1}{AB}↖{→}=-{1}/{2}{AB}↖{→}$
Et cela se confirme sur la figure.
Et de même, comme A est le barycentre de $(B,1)$ et $(C,2)$, on obtient ${BA}↖{→}={2}/{1+2}{BC}↖{→}={2}/{3}{BC}↖{→}$
Et cela se confirme sur la figure.
Et enfin, comme B est le barycentre de $(A,3 )$ et $(C,-2)$, on obtient ${AB}↖{→}={-2}/{3+(-2)}{AC}↖{→}=-2{AC}↖{→}$
C'est d'ailleurs cette égalité qui nous a permis de faire la figure!