Les vecteurs
Exercice 12
Soient A, B et C trois points alignés du plan selon la figure suivante.
Exprimer ${AB}↖{→}$ en fonction de ${AC}↖{→}$ par lecture graphique.
A est le barycentre de $(B,b )$ et $(C,c)$. Déterminer un couple $(b,c)$ convenable .
Puis écrire chacun des points B et C comme barycentre des deux autres.
Corrigé
On obtient graphiquement: ${AB}↖{→}={3}/{7}{AC}↖{→}$.
Et donc: $7{AB}↖{→}=3{AC}↖{→}$.
Et donc: $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$.
Donc A est le barycentre de $(B,7 )$ et $(C,-3)$.
Donc on propose $(b,c)=(7,-3)$.
Tout couple de coefficients proportionnels à ceux-ci (et de somme non nulle) convient également.
Graphiquement, on constate facilement que B est le barycentre de $(A,4)$ et $(C,3)$.
Il suffit d'imaginer que B serait le centre de gravité d'une barre AC avec 4kg en A et 3kg en C (voir la partie B de l'exercice 10).
Retrouvons le algébriquement.
On a vu que $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$.
Nous allons faire apparaître les vecteurs ${BA}↖{→}$ et ${BC}↖{→}$ pour obtenir une relation du type $α{BA}↖{→}+β{BC}↖{→}={0}↖{→}$.
On a: $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $7{AB}↖{→}-3({AB}↖{→}+{BC}↖{→})={0}↖{→}$ (par la relation de Chasles)
Soit: $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $7{AB}↖{→}-3{AB}↖{→}-3{BC}↖{→}={0}↖{→}$
Soit: $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $4{AB}↖{→}-3{BC}↖{→}={0}↖{→}$
Soit: $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $-4{BA}↖{→}-3{BC}↖{→}={0}↖{→}$
Soit: $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $4{BA}↖{→}+3{BC}↖{→}={0}↖{→}$
Par conséquent, B est le barycentre de $(A,4)$ et $(C,3)$
On a vu que $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$.
Nous allons faire apparaître les vecteurs ${CA}↖{→}$ et ${CB}↖{→}$ pour obtenir une relation du type $α{CA}↖{→}+β{CB}↖{→}={0}↖{→}$.
On a: $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $7({AC}↖{→}+{CB}↖{→})-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$ (par la relation de Chasles)
Soit: $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $7{AC}↖{→}+7{CB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$
Soit: $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $4{AC}↖{→}+7{CB}↖{→}={0}↖{→}$
Soit: $7{AB}↖{→}-3{AC}↖{→}={0}↖{→}$ $ ⇔$ $-4{CA}↖{→}+7{CB}↖{→}={0}↖{→}$
Par conséquent, C est le barycentre de $(A,-4)$ et $(B,7)$
Remarques:
Comme C est le barycentre de $(A,-4)$ et $(B,7)$, on obtient ${AC}↖{→}={7}/{-4+7}{AB}↖{→}={7}/{3}{AB}↖{→}$
Et cela se confirme sur la figure.
Et de même, comme B est le barycentre de $(A,4 )$ et $(C,3)$, on obtient ${AB}↖{→}={3}/{4+3}{AC}↖{→}={3}/{7}{AC}↖{→}$
Et cela a été lu au début de l'exercice sur la figure.
Et enfin, comme A est le barycentre de $(B,7)$ et $(C,-3)$, on obtient ${BA}↖{→}={-3}/{7-3}{BC}↖{→}=-{3}/{4}{BC}↖{→}$
Et cela se confirme sur la figure.