Les vecteurs
Exercice 13
Soient $A(0,2)$, $B(4,-1)$ et $B(3,1)$ trois points non alignés du plan repéré.
Soit K le milieu du segment $[AB]$.
Soit G le barycentre des points pondérés $(K,2)$ et $(C,1)$.
Déterminer les coordonnées de K et de G.
Faire une figure.
Vérifier graphiquement que la médiane de ABC issue de A passe par G.
Que dire du point G?
Corrigé
Le milieu K de $[AB]$ admet pour coordonnées:
$x_K={x_A+x_B}/{2}$ et $y_K={y_A+y_B}/{2}$
Soit: $x_K={0+4}/{2}$ et $y_K={2+(-1)}/{2}$
Donc: $x_K=2$ et $y_K={1}/{2}$
Et par là: $K(2$ ; $0,5)$
Posons $k=2$ et $c=1$.
Le barycentre G admet pour coordonnées:
$x_G={kx_K+cx_C}/{k+c}$ et $y_G={ky_K+cy_C}/{k+c}$
Soit: $x_G={2×2+1×3}/{2+1}$ et $y_G={2×0,5+1×1}/{2+1}$
Donc: $x_G={7}/{3}$ et $y_G={2}/{3}$
Et par là: $G({7}/{3}$ ; ${2}/{3})$
Voici une figure convenable
La médiane de ABC issue de A passe par le milieu de $[BC]$. On constate graphiquement que cette médiane passe bien par G.
Par ailleurs, comme K est le milieu K de $[AB]$, la droite (KC) est la médiane de ABC issue de C.
Or, comme G est le barycentre des points pondérés K et C, il est sur la droite (KC), et donc sur la médiane (KC).
Le point G appartenant à deux médianes du triangle non aplati ABC en est le centre de gravité.