Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Les vecteurs

Exercice 4

Les propositions suivantes sont-elles vrais ou fausses?
1. ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ sont colinéaires si et seulement si
soit ${u}↖{→}={0}↖{→}$,
soit ${v}↖{→}={0}↖{→}$,
soit ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ sont différents de ${0}↖{→}$, et il existe un réel $k$ tel que ${u}↖{→}=k{v}↖{→}$.
2. Dans le plan rapporté à un repère, ${u}↖{→}(2;-3)$ et ${v}↖{→}(7;4)$ sont colinéaires.
3. Dans le plan rapporté à un repère, si ${u}↖{→}(2;-3)$ et ${v}↖{→}(x;4)$ sont colinéaires, alors $x=-{8}/{3}$.
4. Soient A, B, C et D 4 points distincts du plan.
Si ${AB}↖{→}$ et ${CD}↖{→}$ sont colinéaires, alors les points A, B, C et D sont alignés.

Solution...
Corrigé

1. C'est VRAI (regarde ton cours!).

2. C'est FAUX.
En effet: $x_{{u}↖{→}}×y_{{v}↖{→}}-x_{{v}↖{→}}×y_{{u}↖{→}}=2×4-7×(-3)=8+21=29$.
Donc: $x_{{u}↖{→}}×y_{{v}↖{→}}-x_{{v}↖{→}}×y_{{u}↖{→}}≠0$, et par là, ${u}↖{→}(2;-3)$ et ${v}↖{→}(7;4)$ ne sont pas colinéaires.

3. C'est VRAI.
En effet: comme ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ sont colinéaires, on a: $x_{{u}↖{→}}×y_{{v}↖{→}}-x_{{v}↖{→}}×y_{{u}↖{→}}=0$.
Soit: $2×4-x×(-3)=0$.
Soit: $8+3x=0$.
Et par là: $x={-8}/{3}$.

4. C'est FAUX.
En effet: si ${AB}↖{→}$ et ${CD}↖{→}$ sont colinéaires, alors les droites (AB) et (CD) sont seulement parallèles.
Elles ne sont pas forcément confondues, et donc les points A, B, C et D ne sont pas forcément alignés.
Remarque: les droites (AB) et (CD) existent bien car les points sont distincts.

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