Les Maths en Seconde

L'essentiel pour réussir!

Les vecteurs

Exercice 5

On considère 3 points A, B et C du plan.
Le point K est défini par l'égalité vectorielle: ${AK}↖{→}=3{AB}↖{→}$
Le point L est défini par l'égalité vectorielle: ${CL}↖{→}=2{AC}↖{→}$
1. Faire une figure.
2. Exprimer ${LA}↖{→}$ en fonction de ${CA}↖{→}$.
3. En utilisant deux fois la relation de Chasles, démontrer que ${LK}↖{→}=3{CB}↖{→}$.
4. Qu'en déduire concernant les droites (LK) et (CB)?


Solution...
Corrigé

1. Une figure convenable est tracée ci-dessous.
fig4

2. Remarquons tout d'abord que, comme ${CL}↖{→}=2{AC}↖{→}$, on a: ${LC}↖{→}=2{CA}↖{→}$.
On calcule alors: ${LA}↖{→}={LC}↖{→}+{CA}↖{→}$ (d'après la relation de Chasles)
Soit: ${LA}↖{→}=2{CA}↖{→}+{CA}↖{→}$ (d'après la remarque ci-dessus).
Et donc: ${LA}↖{→}=3{CA}↖{→}$.

3. A retenir: pour exprimer le vecteur ${LK}↖{→}$ en fonction du vecteur ${CB}↖{→}$, il suffit de décomposer ${LK}↖{→}$ à l'aide de la relation de Chasles.
L'astuce est de "suivre" les traits de construction, ce qui sous-tend l'utilisation des hypothèses données dans l'énoncé.

On a: ${LK}↖{→}={LA}↖{→}+{AK}↖{→}$ (d'après la relation de Chasles)
Soit: ${LK}↖{→}=3{CA}↖{→}+3{AB}↖{→}$ (d'après le 2., et par hypothèse)
Donc: ${LK}↖{→}=3({CA}↖{→}+{AB}↖{→})$
Donc: ${LK}↖{→}=3{CB}↖{→}$ (d'après la relation de Chasles)

4. On vient de montrer que ${LK}↖{→}=3{CB}↖{→}$.
Donc les vecteurs ${LK}↖{→}$ et ${CB}↖{→}$ sont colinéaires.
Par conséquent, les droites (LK) et (CB) sont parallèles.

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