Les vecteurs
Exercice 6
ABDC est un carré de côté 8 (unités de longueur). Son aire est donc égale à 64 (unités d'aire).
Ce carré est découpé en 4 morceaux selon la figure qui suit. Ces morceaux sont 2 triangles rectangles semblables, et 2 trapèzes semblables.
On a: AE=3, EB=5, EF=3 et FG=5.
Les 4 morceaux sont réorganisés selon la figure suivante.
Or ce rectangle a pour aire 65 (unités d'aire).
Cette aire est supérieure d'une unité à celle du carré d'origine!
Ce paradoxe (dit de "Lewis Carroll") s'explique de la façon suivante.
En réalité, les 4 morceaux ne peuvent pas se réorganiser exactement selon la seconde figure.
En fait, les points P, Q et R ne sont pas alignés!
Le but de l'exercice est de le démontrer.
Le plan est rapporté au repère orthonormé d'origine P, tel que Q ait pour coordonnées (8;3), et tel que R ait pour coordonnées (13;5).
Montrer alors que les points P, Q et R ne sont pas alignés.
Corrigé
P a pour coordonnées (0;0).
On a: $x_{{PQ}↖{→}}=x_Q-x_P=8-0=8$ et: $y_{{PQ}↖{→}}=y_Q-y_P=3-0=3$
On a: $x_{{PR}↖{→}}=x_R-x_P=13-0=13$ et: $y_{{PR}↖{→}}=y_R-y_P=5-0=5$
On calcule alors: $xy'-x'y=8×5-13×3=1$.
Donc: $xy'-x'y≠0$.
Et par là, les vecteurs ${PQ}↖{→}$ et ${PR}↖{→}$ ne sont pas colinéaires.
Et donc, les points P, Q et R ne sont pas alignés.
Cela se voit si l'on trace la figure avec beaucoup de soin.
La différence d'une unité d'aire évoquée dans l'énoncé correspond à l'aire de la surface hachurée en rouge.