Les vecteurs
Exercice 7
On considère le plan muni du repère orthonormé $(A,B,C)$.
Les points E, F et G sont définis par les égalités vectorielles:
${AE}↖{→}=4{AB}↖{→}-{AC}↖{→}$
${AF}↖{→}=2{AB}↖{→}+{AC}↖{→}$
${AG}↖{→}={AB}↖{→}+2{AC}↖{→}$
1. Faire une figure.
2. Donner, sans justifier, les coordonnées des points A, B et C.
3. Déterminer les coordonnées des points E, F et G.
4. Déterminer les coordonnées des vecteurs ${EG}↖{→}$ et ${EF}↖{→}$.
5. Exprimer ${EG}↖{→}$ en fonction de ${EF}↖{→}$.
6. Qu'en déduire concernant les points E, F et G?
Corrigé
1. Une figure convenable est tracée ci-dessous.
2. On a: A(0;0), B(1;0) et C(0;1).
3. Comme ${AE}↖{→}=4{AB}↖{→}-{AC}↖{→}$, on a: E(4;-1).
Comme ${AF}↖{→}=2{AB}↖{→}+{AC}↖{→}$, on a: F(2;1).
Comme ${AG}↖{→}={AB}↖{→}+2{AC}↖{→}$, on a:G(1;2).
4. On a: $x_{{EG}↖{→}}=x_G-x_E=1-4=-3$
Et on a: $y_{{EG}↖{→}}=y_G-y_E=2-(-1)=3$
Donc: ${EG}↖{→}(-3;3)$
De même, on a: $x_{{EF}↖{→}}=x_F-x_E=2-4=-2$
Et on a: $y_{{EF}↖{→}}=y_F-y_E=1-(-1)=2$
Donc: ${EF}↖{→}(-2;2)$
5. On constate que: $x_{{EG}↖{→}}={3}/{2}x_{{EF}↖{→}}$ et $y_{{EG}↖{→}}={3}/{2}y_{{EF}↖{→}}$
Par conséquent: ${EG}↖{→}={3}/{2}{EF}↖{→}$.
6. On a vu que ${EG}↖{→}={3}/{2}{EF}↖{→}$.
Et donc: les vecteurs ${EG}↖{→}$ et ${EF}↖{→}$ sont colinéaires.
Et par là, les points E, F et G sont alignés.