Les vecteurs
Exercice 8
On considère le plan muni du repère orthonormé $(A,D,B)$.
ABCD est un parallélogramme. I est le milieu de [AD]. B est le milieu de [AK]. J est défini par ${BJ}↖{→}={1}/{4}{BC}↖{→}$.
Faire une figure.
Que dire de ABCD. Justifier rapidement.
On veut montrer que les points K, J et I sont alignés.
a. Donner, sans justifier, les coordonnées des points A, D et B.
b. Déterminer les coordonnées des points I, K, C et J.
c. Déterminer les coordonnées des vecteurs ${KJ}↖{→}$ et ${KI}↖{→}$.
d. Conclure.
Corrigé
Démontrons tout d'abord 4 propositions que nous utiliserons par la suite.
I est le milieu de [AD], donc: ${AI}↖{→}=0,5{AD}↖{→}$ (2)
ABCD est un parallélogramme, donc: ${AD}↖{→}={BC}↖{→}$ (3)
${BJ}↖{→}={1}/{4}{BC}↖{→}$, donc: $4{BJ}↖{→}={BC}↖{→}$ (4)
On conjecture que ABCD est un carré.
Comme le repère $(A,D,B)$ est orthonormé, les côtés [AD] et [BD] sont de même longueur. Et donc le parallélogramme ABCD est un losange.
Comme le repère $(A,D,B)$ est orthonormé, les côtés [AD] et [BD] sont perpendiculaires. Et donc le parallélogramme ABCD est un rectangle.
Et comme ABCD est un rectangle et un losange, c'est donc un carré.
a. Le plan est rapporté au repère $(A,D,B)$.
On a donc: $A(0;0)$, $D(1;0)$ et $B(0;1)$.
b.
D'après (2), on a: ${AI}↖{→}=0,5{AD}↖{→}$
Et donc: $x_I-x_A=0,5(x_D-x_A)$ et $y_I-y_A=0,5(y_D-y_A)$
Soit: $x_I-0=0,5(1-0)$ et $y_I-0=0,5(0-0)$
Soit: $x_I=0,5$ et $y_I=0)$
Donc $I(0,5;0)$.
De même, en utilisant dans l'ordre les égalités (1), (3) et (4), on obtient:
$K(0;2)$, $C(1;1)$ et $J(0,25;1)$
c. $x_{{KJ}↖{→}}=x_J-x_K=0,25-0=0,25$
$y_{{KJ}↖{→}}=y_J-y_K=1-2=-1$
Donc: ${KJ}↖{→}(0,25;-1)$.
De même, on obtient: $x_{{KI}↖{→}}=0,5-0=0,5$ et
$y_{{KI}↖{→}}=0-2=-2$
Donc: ${KI}↖{→}(0,5;-2)$.
d. On constate donc que: $x_{{KI}↖{→}}=2x_{{KJ}↖{→}}$ et $y_{{KI}↖{→}}=2y_{{KJ}↖{→}}$
Par conséquent: ${KI}↖{→}=2{KJ}↖{→}$.
Donc les vecteurs ${KI}↖{→}$ et ${KJ}↖{→}$ sont colinéaires.
Donc les points K, J et I sont alignés.