Maths Complémentaires en Terminale

L'essentiel pour réussir

Continuité

I Continuité

Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I. Soit $a$ dans I.

$f$ est continue en $a$ si et seulement si $\lim↙{x→a}f(x)=f(a)$.

$f$ est continue sur I si et seulement si $f$ est continue en tout nombre $a$ de I.

Graphiquement, une fonction est continue quand le tracé de sa courbe représentative peut se faire sans lever le crayon.

Exemple

La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $\[0;2\]$.
La fonction $f$ est continue sur l'intervalle $\]2;4\]$.
Mais la fonction $f$ n'est pas continue sur l'intervalle $\[0;4\]$ car elle est discontinue en 2!

fig1

Propriété

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I. Soit $a$ dans I.

Si $f$ est dérivable en $a$, alors $f$ est continue en $a$.

Si $f$ est dérivable sur I, alors $f$ est continue sur I.

Définition et propriété

Les fonctions polynômes, la fonction valeur absolue, la fonction racine carrée, la fonction exponentielle, la fonction logarithme népérien constituent les fonctions usuelles.
Les fonctions usuelles, ainsi que les fonctions obtenues par opérations ou par composition usant de fonctions usuelles, sont continues sur les intervalles sur lesquels elles sont définies.

Exemple

La fonction $f(x)=(3x^2-5)e^{x-7}$ est-elle continue sur $\R$?

$f$ est définie sur $\R$.
Et $f$ est obtenue par opérations ou par composition de fonctions usuelles.
Donc $f$ est continue sur $\R$.


II Equations $f(x)=k$

Théorème des valeurs intermédiaires

Si $f$ est une fonction continue sur $\[a;b\]$,
Si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$,
Alors l'équation $f(x)=k$ admet au moins une solution sur $\[a;b\]$.

Propriété

Par convention, dans un tableau de variation, les flèches indiquent évidemment que la fonction est strictement monotone, mais aussi qu'elle est continue.

Exemple

La fonction $f$ vérifie le tableau de variation ci-dessous.
Montrer que l'équation $f(x)=12$ admet au moins une solution sur $\[-3;7\]$.

fig2
Solution...
Corrigé

D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $f$ est continue sur $\[-3;7\]$.
Or, 12 est un nombre compris entre $f(-3)=25$ et $f(7)=8$,
Donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation $f(x)=12$ admet au moins une solution sur $\[-3;7\]$.

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Théorème de la bijection

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur $\[a;b\]$,
Si $k$ est un nombre compris entre $f(a)$ et $f(b)$,
Alors l'équation $f(x)=k$ admet une unique solution sur $\[a;b\]$.

Exemple

La fonction $f$ vérifie le tableau de variation ci-dessous.
Montrer que l'équation $f(x)=12$ admet exactement 2 solutions, la première entre -2 et 2, la seconde entre 2 et 10.

fig3
Solution...
Corrigé

D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $\[-2;2\]$.
Or 12 est un nombre compris entre $f(-2)=20$ et $f(2)=9$,
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=12$ admet une unique solution $c_1$ sur $\[-2;2\]$.
De même, nous pouvons démontrer que l'équation $f(x)=12$ admet admet une unique solution $c_2$ sur $\[2;10\]$.
Enfin, comme 13 est le minimum de $f$ sur $\[10;17\]$, l'équation $f(x)=12$ n'admet pas de solution sur $\[10;17\]$.
Il est clair que: $-2$<$ c_1$<$2$<$ c_2$<$10$. L'équation $f(x)=12$ admet donc exactement 2 solutions, la première entre -2 et 2, la seconde entre 2 et 10.

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Généralisation

Les théorèmes des valeurs intermédiaires et de la bijection s'étendent naturellement à des intervalles semi-ouverts ou ouverts, bornés ou non.
Voir l'exemple ci-dessous.

Exemple

La fonction $f$ vérifie le tableau de variation ci-dessous.
Montrer que l'équation $f(x)=1$ admet exactement 1 solution sur $[-2,7;+∞[$.

fig4
Solution...
Corrigé

D'après le tableau de variation ci-dessus, la fonction $f$ est continue et strictement décroissante sur $[-2,7;+∞[$.
Or 1 est strictement inférieur à $f(-2,7)=8,9$, et $\lim↙{x→+∞}f(x)=-∞$.,
Donc, d'après le théorème de la bijection, l'équation $f(x)=1$ admet une unique solution sur $[-2,7;+∞[$.

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III Fonction réciproque

Définition et propriété

Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone sur l'intervalle $I$,
alors l'ensemble des images $f(x)$ lorsque $x$ décrit $I$ est un intervalle $J$,
et, pour tout réel $k$ de $J$, il existe une unique solution $c$ dans $I$ à l'équation $f(x)=k$.
Cela définit alors une nouvelle fonction, appelée fonction réciproque de $f$, et notée $f^{-1}$, telle que,
pour tout $k$ de $J$, $f^{-1}(k)=c$ (où $c$ est l'unique solution de l'équation $f(x)=k$).

Propriété

Dans un repère orthonormé, deux fonctions réciproques l'une de l'autre ont des représentations graphiques symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$

Exemple

On considère la fonction $f$ définie pour tout $x$ de $[0;+∞[$ par $f(x)=x^2$
Montrer que la fonction $f$ admet une réciproque $f^{-1}$ sur $[0;+∞[$ , et déterminer l'expression de $f^{-1}(x)$ pour tout $x$ de $[0;+∞[$. Tracer les deux courbes représentatives.

Solution...
Corrigé

$f$ est continue et strictement croissante sur l'intervalle $[0;+∞[$. De plus $f(0)=0$ et $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$.
D'où le tableau de variation: fig6
Par conséquent, l'ensemble des images $f(x)$ lorsque $x$ décrit $[0;+∞[$ est $[0;+∞[$,
et, pour tout réel $k$ de $[0;+∞[$, il existe une unique solution $c$ dans $[0;+∞[ $ l'équation $f(x)=k$.
On notera ici que: $f(x)=k$ $ ⇔$ $x^2=k$ $ ⇔$ $x=√{k}$ (car $x$ est recherché dans $[0;+∞[$ )
Finalement, la fonction $f$ admet donc une réciproque $f^{-1}$ sur $[0;+∞[$ , qui est telle que, pour tout $x$ de $[0;+∞[$ , $f^{-1}(x)=√{k}$
En résumé, les fonctions carrée (restreinte à $[0;+∞[$) et racine carrée sont réciproques l'une de l'autre.
Voici les tracés demandés. On notera que les représentations graphiques sont bien symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$
Les deux demi-paraboles sont parfaitement superposables par symétrie axiale.
On remarquera que, par exemple, $f(2)=4$ $ $⇔$ $ $f^{-1}(4)=2$

fig5
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