Maths Complémentaires en Terminale

L'essentiel pour réussir

Fonction logarithme népérien

Définition et propriété

La fonction logarithme népérien, notée $\ln$, est la fonction définie sur $]0;+∞[$ qui, à tout réel strictement positif $b$ associe l'unique solution de l'équation $e^x=b$.
Ainsi, pour tout réel $b$ strictement positif, pour tout réel $a$, $a=\ln b⇔ e^a=b$.
Et par là, on obtient, en particulier:    $\ln 1=0$     $\ln e=1$.

Propriété

Dans un repère orthonormé, les courbes représentatives des fonction $\ln x$ et $^x$ sont symétriques par rapport à la droite d'équation $y=x$.

fig3

Dérivées

La fonction $\ln x$ admet pour dérivée ${1}/{x}$ sur $]0;+∞[$. Ainsi: $(\ln x)'={1}/{x}$


Soit $u$ une fonction strictement positive sur un intervalle I.
La fonction $\ln u$ admet pour dérivée ${u'}/{u}$ sur I. Ainsi: $(\ln u)'={u'}/{u}$

Les fonctions $u$ et $\ln u$ ont même sens de variation sur I.

Exemple

Soit $f$ définie sur $]0;+∞[$ par $f(x)=7\ln x+3x$.
Montrer que $f\,'(x)={7+3x}/{x}$.

Solution...
Corrigé
$f\,'(x)=7{1}/{x}+3={7}/{x}+{3x}/{x}={7+3x}/{x}$.
Réduire...
Exemple

Soit $f$ définie par $f(x)=3x-\ln (2x-1)$.
Déterminer le domaine de définition $\D_f$ de $f$.
Calculer $f\,'(x)$, puis montrer que $f$ admet pour minimum $2,5-\ln{2}/{3}$ sur $\D_f$.

Solution...
Corrigé
$f(x)$ existe si et seulement si $2x-1\text">"0$, soit: $x\text">"0,5$. Donc $D_f=]0,5;+∞[$.
On pose $u=2x-1$, et donc $u'=2$.
Ici $f=3x-\ln u$, et par là $f\,'=3-{u'}/{u}$.
Donc $f\,'(x)=3-{2}/{2x-1}={3(2x-1)}/{2x-1}-{2}/{2x-1}={6x-3-2}/{2x-1}={6x-5}/{2x-1}$.
Le signe de $f\,'$ et le sens de variation de la fonction $f$ sont donnés ci-dessous.

fig2
Et par là, $f$ admet pour minimum $f({5}/{6})=3×{5}/{6}-\ln (2×{5}/{6}-1)=2,5-\ln {2}/{3}$.
Réduire...

Propriétés

La fonction $\ln x$ est continue sur $]0;+∞[$.

$\ln x$ est strictement négative sur $]0;1[$.
$\ln x$ est strictement positive sur $]1;+∞[$.

La fonction $\ln x$ est strictement croissante.

fig1
Exemple

Soit $\C$ la courbe représentative de $\ln x$.
Déterminer une équation de $d_0$, tangente à $C$ en 1.
Déterminer une équation de $d_1$, tangente à $C$ en e.

Solution...
Corrigé

Posons $f(x)=\ln x$.    On a donc: $f\,'(x)={1}/{x}$.
$d_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=1$, $f(x_0)=\ln 1=0$, $f\,'(x_0)={1}/{1}=1$.
D'où l'équation: $y=0+1(x-1)$, soit: $y=x-1$.
Donc finalement, $d_0$ a pour équation: $y=x-1$ (elle est tracée en rouge sur le dessin de la propriété précédente).

$d_1$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=e$, $f(x_1)=\ln e=1$, $f\,'(x_1)={1}/{e}$.
D'où l'équation: $y=1+{1}/{e}(x-e)$, soit: $y=1+{1}/{e}x-1$, soit: $y={1}/{e}x$.
Donc finalement, $d_1$ a pour équation: $y={1}/{e}x$ (elle est tracée en vert sur le dessin de la propriété précédente).

Réduire...
Exemple

Sans calculatrice, donner le signe de $\ln 0,5$, de $\ln 1,9$.

Solution...
Corrigé

$0,5\text"<"1$, et donc $\ln 0,5\text"<"0$.
$1,9\text">"1$, et donc $\ln 1,9\text">"0$.

Réduire...

Limites de référence

$\lim↙{x→+∞}\ln x=+∞$   $\lim↙{x→0}\ln x=-∞$

Exemple

Déterminer $\lim↙{x→+∞}\ln (x)+x^2+5$.
Déterminer $\lim↙{x→0}\ln (2x+3)+\ln x$.

Solution...
Corrigé

On a $\lim↙{x→+∞}\ln (x)=+∞$
Et $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$
Et $\lim↙{x→+∞}5=5$.
Donc $\lim↙{x→+∞}\ln (x)+x^2+5=+∞$ (limite d'une somme).

On a $\lim↙{x→0}\ln (2x+3)=2×0+3=3$.
Et $\lim↙{x→0}\ln x=-∞$
Donc $\lim↙{x→0}\ln (2x+3)+\ln x=-∞$ (limite d'une somme).

Réduire...

Propriétés

Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, pour tout entier relatif $p$, on a:
$\ln ab=\ln a+\ln b$    $\ln {a}/{b}=\ln a-\ln b$    $\ln a^p=p\ln a$    $\ln √a={1}/{2}\ln a$   

Pour tous nombre réel $a$ , on a:   $\ln (e^a)=a$
Pour tous nombre réel strictement positif $a$ , on a:    $e^{\ln a}=a$

Exemple

Simplifier les expressions suivantes: $A=3\ln 2-\ln4+\ln(e^{1,19})$   $B=\ln x^2-\ln x+e^{\ln3,7}$.

Solution...
Corrigé

$A=3\ln 2-\ln4+\ln(e^{1,19})=\ln 2^3-\ln4+1,19=\ln8-\ln4+1,19$.
Soit: $A=\ln{8}/{4}+1,19=\ln2+1,19$.

$B=\ln x^2-\ln x+e^{\ln3,7}=\ln{x^2}/{x}+3,7=\ln x+3,7$.

Réduire...

Propriétés

Pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $b$, on a:
$\ln a\text"<"\ln b ⇔ a\text"<"b$    et    $\ln a=\ln b ⇔ a=b$

Exemple

  1. Résoudre l'équation $\ln(x-2)=0$.
  2. Résoudre l'inéquation $\ln(-5x+3)-1≤0$.
  3. Résoudre l'inéquation $\ln(-5x+3)≤4$.
  4. Résoudre l'inéquation $e^(-4x)-7≤0$.
  5. Résoudre l'inéquation $5×0,98^n≤0,9$ où $n$ est un entier naturel.

Solution...
Corrigé
  1. On doit avoir $x-2\text">"0$, soit $x\text">"2$. Donc $\D_E=]2;+∞[$.
    $\ln(x-2)=0⇔\ln(x-2)=\ln 1⇔x-2=1⇔x=3$.
    Autre méthode: $\ln(x-2)=0⇔e^{\ln(x-2)}=e^0⇔x-2=1⇔x=3$.
    Donc $\S=\{3\}$.   Notons que 3 est bien dans $\D_E$

  2. On doit avoir $-5x+3\text">"0$, soit $-5x\text">"-3$, soit $x\text"<"{-3}/{-5}$, soit $x\text"<"0,6$.
    Donc $\D_E=]-∞;0,6[$.
    (E)$⇔\ln(-5x+3)-1≤0⇔\ln(-5x+3)≤1$
    Soit: (E) $⇔\ln(-5x+3)≤\ln e⇔-5x+3≤e$
    Autre méthode: (E)$⇔e^{\ln(-5x+3)}≤e^1⇔-5x+3≤e$
    Soit: (E)$⇔-5x≤e-3⇔x≥{e-3}/{-5}$
    Donc $\S=[{e-3}/{-5};0,6[$.   Notons que ${e-3}/{-5}≈0,06$.

  3. On doit avoir $-5x+3\text">"0$, soit $-5x\text">"-3$, soit $x\text"<"{-3}/{-5}$, soit $x\text"<"0,6$.
    Donc $\D_E=]-∞;0,6[$.
    $\ln(-5x+3)≤4⇔e^{\ln(-5x+3)}≤e^4⇔-5x+3≤e^4⇔-5x≤e^4-3⇔x≥{e^4-3}/{-5}$
    Donc $\S=[{e^4-3}/{-5};0,6[$.   Notons que ${e^4-3}/{-5}≈-10,32$.

  4. $\D_E=\R$
    $e^(-4x)-7≤0⇔e^(-4x)≤7⇔\ln(e^(-4x))≤\ln 7⇔-4x≤\ln 7⇔x≥{\ln 7}/{-4}$.
    Donc $\S=[{\ln 7}/{-4};+∞[$.   Notons que ${\ln 7}/{-4}≈-0,49$.

  5. $\D_E$ est l'ensemble des entiers naturels.
    (E)$⇔5×0,98^n≤0,9⇔0,98^n≤{0,9}/{5}⇔0,98^n≤0,18⇔\ln0,98^n≤\ln 0,18$
    Soit: (E)$⇔n\ln0,98≤\ln 0,18$.
    Soit: (E)$⇔n≥{\ln 0,18}/{\ln0,98}$.
    Notons le changement de sens de l'inégalité car $\ln 0,98\text"<"0$.
    On a: ${\ln 0,18}/{\ln0,98}≈84,88$.
    Donc, finalement, $\S$ est l'ensemble des entiers supérieurs ou égaux à $85$.
Réduire...

Savoir faire
Comment résoudre les équations et les inéquations où apparait la fonction $\ln$ ou la fonction exponentielle?
En général, il suffit d'isoler le terme contenant la fonction problématique, puis de composer chaque membre de l'équation ou de l'inéquation par la fonction réciproque.
Ne pas oublier de déterminer le domaine d'étude, en particulier quand la fonction $\lb$ intervient!
(lire l'exemple ci-dessus)

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