Corrigé

1. La fonction inverse ${1}/{x}$ est dérivable sur $]0;+∞[$, et par là, $f$ est dérivable sur $[1;b]$, et donc $f$ y est continue.
2. Par conséquent, $f$ étant positive et continue, l'aire située entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut: $$A=∫_1^{b} f(x)dx$$
   Or: $$∫_1^{b} f(x)dx=∫_1^{b} {1}/{x}dx=[\ln x]_1^{b}=\ln b-\ln 1=\ln b-0=\ln b$$
   Donc: $$A=\ln b$$
   Donc, d'après le 1., $f$ est une densité si et seulement si $A=1$.
   On résout donc: $\ln b=1⇔b=e$.
   Finalement, $f$ est une densité si et seulement si $b=e$.