Corrigé

On a: (E) $\iff$ $\mathit{y}\prime =-0,5\mathit{y}+3,5$
On résout en 3 étapes.

• L'équation différentielle (E) sur ℝ admet pour solution particulière la fonction $\mathit{g}$ définie par : $\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)=-\frac{3,5}{-0,5}=7$.


• On sait que: $\mathit{g}\prime \left(\mathit{x}\right)=-0,5\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)+3,5$
  Et $\mathit{f}$ est solution de (E) si et seulement si $\mathit{f}\prime \left(\mathit{x}\right)=-0,5\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)+3,5$
  Donc, par différence: $\mathit{f}$ est solution de (E) si et seulement $\mathit{f}\prime \left(\mathit{x}\right)-\mathit{g}\prime \left(\mathit{x}\right)=-0,5\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)+3,5+0,5\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)-3,5$
  si et seulement $\mathit{f}\prime \left(\mathit{x}\right)-\mathit{g}\prime \left(\mathit{x}\right)=-0,5\left(\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)-\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)\right)$
  si et seulement si $\mathit{f}\mathit{–}\mathit{g}$ solution de (E'): $\mathit{y}\prime =-0,5\mathit{y}$.


• Or les solutions de $\mathit{y}\prime =-0,5\mathit{y}$ sont les fonctions $\mathit{k}{\mathit{e}}^{-0,5\mathit{x}}$ (où k est un réel quelconque).
  Par conséquent: $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)-\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)=\mathit{k}{\mathit{e}}^{-0,5\mathit{x}}$ (où k est un réel quelconque)
  Et par là: $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=\mathit{g}\left(\mathit{x}\right)+\mathit{k}{\mathit{e}}^{-0,5\mathit{x}}$
  L'équation différentielle (E) sur ℝ admet pour solutions les fonctions $\mathit{f}$ définies par : $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=\mathit{k}.{\mathit{e}}^{-0,5\mathit{x}}+7$ (où $\mathit{k}$ est un réel), et ce sont les seules solutions.

On cherche alors la solution telle que $\mathit{f}\left(0\right)=10$
On a donc: $\mathit{k}.{\mathit{e}}^0+7=10$, et donc: $\mathit{k}=3$
Donc la solution cherchée est la fonction $\mathit{f}$ définie pour tout $\mathit{x}$ de ℝ par: $\mathit{f}\left(\mathit{x}\right)=3.{\mathit{e}}^{-0,5\mathit{x}}+7$