Maths Complémentaires en Terminale

L'essentiel pour réussir

Primitives et équations différentielles

A SAVOIR: le cours sur les primitives

Exercice 6

Résoudre l'équation différentielle (E): $2y'+y-7=0$ sur ℝ.
Déterminer la solution $f$ de (E) telle que $f(0)=10$

Solution...

Corrigé

On a: (E) $⇔$ $y'=-0,5y+3,5$
On résout en 3 étapes.

  • L'équation différentielle (E) sur ℝ admet pour solution particulière la fonction $g$ définie par : $g(x) = -{3,5}/{-0,5}=7$.

  • On sait que: $g'(x)=-0,5g(x)+3,5$
    Et $f$ est solution de (E) si et seulement si $f'(x)=-0,5f(x)+3,5$
    Donc, par différence: $f$ est solution de (E) si et seulement $f'(x)-g'(x)=-0,5f(x)+3,5+0,5g(x)-3,5$
    si et seulement $f'(x)-g'(x)=-0,5(f(x)-g(x))$
    si et seulement si $f – g$ solution de (E'): $y' =-0,5y $.

  • Or les solutions de $y' =-0,5y $ sont les fonctions $ke^{-0,5x}$ (où k est un réel quelconque).
    Par conséquent: $f(x)-g(x)=ke^{-0,5x}$ (où k est un réel quelconque)
    Et par là: $f(x)=g(x)+ke^{-0,5x}$
    L'équation différentielle (E) sur ℝ admet pour solutions les fonctions $f$ définies par : $f(x) = k.e^{-0,5x}+7$ (où $k$ est un réel), et ce sont les seules solutions.


On cherche alors la solution telle que $f(0)=10$
On a donc: $k.e^{0}+7=10$, et donc: $k=3$
Donc la solution cherchée est la fonction $f$ définie pour tout $x$ de ℝ par: $f(x)=3.e^{-0,5x}+7$

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