Suites numériques, modèles discrets
A SAVOIR: le cours sur les suites
Exercice 5
- On place $C$ euros à la banque au taux annuel de $3\%$ à intérêts composés.
Soit $c_n$ le capital acquis (en euros) au bout de $n$ années (après versement des intérêts).
On a $c_0=C$.
Exprimer $c_{n+1}$ en fonction de $c_n$.
En déduire la nature de la suite $(c_n)$.
Et expliquer pourquoi on a: $c_n=C×1,03^n$ (pour tout naturel $n$) - A partir de l'année 2000, chaque 1er janvier, Eva ouvre un nouveau compte à sa banque (sans frais d'ouverture) et y dépose une somme de $C$ euros au taux annuel de $3\%$ à intérêts composés.
Le capital acquis par Eva (en euros) $k$ années après ouverture (après versement des intérêts) sur l'un de ses comptes est évidemment égal à $c_k$.
Soit $S_n$ le capital total acquis par Eva (en euros) au 31 décembre de l'année 2000+$n$ (après versement des intérêts), pour l'ensemble de ses comptes (au nombre de $n$).
Expliquer pourquoi on a: $S_1=c_1$ et $S_2=c_1+c_2$ - On suppose ici qu'Eva n'ouvre qu'un seul compte. Au premier janvier de l'année 2000, elle y dépose $C$ euros au taux annuel de $3\%$ à intérêts composés. Puis, chaque 1er janvier, elle y dépose à nouveau $C$ euros.
Montrer que le capital acquis au 31 décembre de l'année 2002 (après versement des intérêts) est $S_2=c_1+c_2$.
On admettra donc par la suite que l'ouverture d'un compte unique (question 3.) ou l'ouverture d'un nouveau compte par an (question 2.) donnent le même capital acquis au bout de $n$ années.
On admet également que ce capital aquis est: $S_n=c_n+c_{n-1}+...+c_2+c_1$ (pour tout naturel $n$ non nul)
- Montrer que: $S_n=C×1,03{1,03^n-1}/{0,03}$
- On suppose par la suite que $C=1\,000$ et que le taux est toujours de $3\%$.
L'égalité précédente devient: $S_n={103\,000}/{3}(1,03^n-1)$
Nous allons retrouver ce résultat autrement.
Nous supposons donc que la formule explicite donnant $S_n$ n'est pas connue.
- Expliquer pourquoi on a: $S_{n+1}=(S_n+C)×1,03$
- Montrer que: $S_{n+1}=S_n×1,03+1\,030$ (pour tout naturel $n$ non nul)
- Qu'en déduire pour la suite $(S_n)$?
Retrouver alors la formule $S_n={103\,000}/{3}(1,03^n-1)$
- De combien Eva dispose-t-elle au bout de 10 ans?
- Eva aimerait bien que son capital acquis atteigne $15\,000$ euros au bout de 10 ans.
Combien doit-elle verser chaque année pour atteindre son objectif?
Corrigé
Clique ICI pour revoir l'essentiel sur les suites géométriques.
- Chaque année, le capital $c_n$ augmente de $3\%$ .
Donc, pour tout naturel $n$ non nul, on a: $c_{n+1}=c_n×(1+3\%)=1,03×c_n$.
Donc la suite $(c_n)$ est géométrique de raison $1,03$.
Donc, $c_n=c_0×1,03^n$.
Soit: $c_n=C×1,03^n$ (pour tout naturel $n$) - Au bout d'un an, Eva ne dispose que du capital acquis sur le premier compte, c'est à dire $c_1$.
Donc: $S_1=c_1$.
Au bout de 2 ans, Eva dispose du capital acquis sur le premier compte, c'est à dire $c_2$ (il s'est écoulé 2 ans), et du capital acquis sur le deuxième compte, c'est à dire $c_1$ (il s'est écoulé 1 an).
Donc: $S_2=c_1+c_2$ - Supposons qu'Eva place son argent sur un unique compte.
Elle dépose C euros. Au bout d'un an, elle dispose de $C×1,03$ euros.
Elle verse alors à nouveau $C$ euros sur ce compte. Elle a alors: $C×1,03+C$ euros sur ce compte.
La seconde année s'écoule. Au 31 décembre de cette seconde année (après versement des intérêts), son capital s'élève à:
$(C×1,03+C)×1,03=C×1,03^2+C×1,03=c_2+c_1$ (en euros)
Cela donne la même formule que pour $S_2$.
Le modèle "multicomptes" semble valide, ce qui rassurera les inquiets. Pour les savants, la validité du modèle tient au fait qu'un même pourcentage appliqué sur plusieurs parties disjointes 2 à 2 est équivalent à ce même pourcentage appliqué sur la réunion des parties. -
On a finalement: $S_n=c_n+c_{n-1}+...+c_2+c_1$
Soit: $S_n=C×1,03^{n}+...C×1,03^2+C×1,03$
Soit: $S_n=C×1,03(1,03^{n-1}+...1,03+1)$
Soit: $S_n=C×1,03{1-1,03^{n-1+1}}/{1-1,03}$
Soit: $S_n=C×1,03{1-1,03^{n}}/{-0,03}$
Soit: $S_n=C×1,03{1,03^n-1}/{0,03}$ (pour tout naturel $n$ non nul) -
On suppose par la suite que $C=1\,000$.
On a alors:$S_n={103\,000}/{3}(1,03^n-1)$ Nous allons retrouver ce résultat autrement.
- Au bout de $n$ années, le capital acquis est $S_n$. Eva y ajoute $C$ euros. Le capital placé au 1er janvier s'élève à $S_n+C$.
Un an plus tard, il vaut alors: $(S_n+C)×1,03$.
Et par là, on a: $S_{n+1}=(S_n+C)×1,03$ c.q.f.d. -
On a: $S_{n+1}=(S_n+C)×1,03$
Soit: $S_{n+1}=(S_n+1\,000)×1,03$
Soit: $S_{n+1}=S_n×1,03+1\,030$ (pour tout naturel $n$ non nul). - Donc la suite $(S_n)$ est arithmético-géométrique de paramètres $a=1,03$ et $b=1\,030$
- Recherchons une formule explicite pour $(S_n)$ en 3 étapes.
Etape 1
On a: $l=al+b$ $⇔$ $l=1,03l+1\,030$ $⇔$ $-0,03l=1\,030$ $⇔$ $l=-{1\,030}/{0,03}=-{103\,000}/{3}$
Etape 2
On considère alors la suite $v_n$ définie par $v_n=S_n+{103\,000}/{3}$, pour tout naturel $n$.
Montrons que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $a=1,03$.
Soit $n$ un entier naturel; $v_{n+1}=S_{n+1}+{103\,000}/{3}=1,03×S_n+1\,030+{103\,000}/{3}=1,03×S_n+{106\,090}/{3}$.
Or: $1,03×v_n=1,03×(S_n+{103\,000}/{3})=1,03×S_n+1,03×{103\,000}/{3}=1,03×S_n+{106\,090}/{3}$.
Donc: $v_{n+1}=1,03×v_n$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $n$.
Donc $(v_n)$ est bien géométrique de raison $1,03$.
Etape 3
Notons que $v_1=S_1+{103\,000}/{3}=1\,030+{103\,000}/{3}={106\,090}/{3}$.
Comme $(v_n)$ est géométrique de raison $1,03$ et de premier terme $v_1={106\,090}/{3}$, on obtient: $v_n={106\,090}/{3}×1,03^{n-1}$.
Attention à l'exposant $n-1$; en effet, le premier terme n'est pas $v_0$, mais $v_1$
Par ailleurs, comme $v_n=S_n+{103\,000}/{3}$, on obtient: $v_n-{103\,000}/{3}=S_n$.
Soit: ${106\,090}/{3}×1,03^{n-1}-{103\,000}/{3}=S_n$
Donc: $S_n={106\,090}/{3}×1,03^n×1,03^{-1}-{103\,000}/{3}$
Donc: $S_n={103\,000}/{3}×1,03^n-{103\,000}/{3}$
Ce qui donne finalement: $S_n={103\,000}/{3}(1,03^n-1)$.
- Au bout de $n$ années, le capital acquis est $S_n$. Eva y ajoute $C$ euros. Le capital placé au 1er janvier s'élève à $S_n+C$.
- On calcule: $S_{10}={103\,000}/{3}(1,03^{10}-1)≈11\,807,80$
Eva dispose d'environ $11\,807,80$ euros au bout de 10 ans. - On a: $S_n=C×(1+t){(1+t)^n-1}/{t}$ avec ici: $n=10$, $t=3\%$, et $s_{10}=15\,000$
Soit: $15\,000=C×1,03{1,03^{10}-1}/{0,03}$
Et par là: ${15\,000×0,03}/{1,03×(1,03^{10}-1)}=C$
Donc: $C≈1\,270,35$
Eva doit verser environ $1\,270,35$ euros chaque année pour atteindre son objectif.