Corrigé

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1. On a: ${\mathit{t}}_1-{\mathit{t}}_0=-0,01\left({\mathit{t}}_0-20\right)$, et donc: ${\mathit{t}}_1={\mathit{t}}_0-0,01\left({\mathit{t}}_0-20\right)$
   Soit: ${\mathit{t}}_1=60-0,01\times \left(60-20\right)=59,6$
   On a: ${\mathit{t}}_2-{\mathit{t}}_1=-0,01\left({\mathit{t}}_1-20\right)$, et donc: ${\mathit{t}}_2={\mathit{t}}_1-0,01\left({\mathit{t}}_1-20\right)$
   Soit: ${\mathit{t}}_2=59,6-0,01\times \left(59,6-20\right)=59,204$
   On a: ${\mathit{t}}_3-{\mathit{t}}_2=-0,01\left({\mathit{t}}_2-20\right)$, et donc: ${\mathit{t}}_3={\mathit{t}}_2-0,01\left({\mathit{t}}_2-20\right)$
   Soit: ${\mathit{t}}_3=59,204-0,01\times \left(59,204-20\right)=58,81196$
   
   On a donc: : ${\mathit{t}}_0-{\mathit{t}}_1=0,4$, ${\mathit{t}}_1-{\mathit{t}}_2=0,396$ et ${\mathit{t}}_2-{\mathit{t}}_3=0,39204$.
   Ces variations sont de plus en plus faibles. Donc la phrase "Le radiateur refroidit de plus en plus vite" est fausse. La loi de refroidissement de Newton exprime au contraire le fait que "le radiateur refroidit de moins en moins vite".


2. ${\mathit{t}}_{\mathit{n}+1}-{\mathit{t}}_{\mathit{n}}=-0,01\left({\mathit{t}}_{\mathit{n}}-20\right)$ $\iff$ ${\mathit{t}}_{\mathit{n}+1}={\mathit{t}}_{\mathit{n}}-0,01{\mathit{t}}_{\mathit{n}}+0,01\times 20$ $\iff$ ${\mathit{t}}_{\mathit{n}+1}=0,99{\mathit{t}}_{\mathit{n}}+0,02$
   Donc, pour tout naturel $\mathit{n}$, on a: ${\mathit{t}}_{\mathit{n}+1}=0,99{\mathit{t}}_{\mathit{n}}+0,2$
   Donc la suite $\left({\mathit{t}}_{\mathit{n}}\right)$ est arithmético-géométrique de paramètres $\mathit{a}=0,99$ et $\mathit{b}=0,2$


3. Recherchons une formule explicite pour $\left({\mathit{t}}_{\mathit{n}}\right)$ en 3 étapes.
   Etape 1
   On a: $\mathit{l}=\mathit{a}\mathit{l}+\mathit{b}$ $\iff$ $\mathit{l}=0,99\mathit{l}+0,2$ $\iff$ $0,01\mathit{l}=0,2$ $\iff$ $\mathit{l}=\frac{0,2}{0,01}=20$
   Etape 2
   On considère alors la suite ${\mathit{v}}_{\mathit{n}}$ définie par ${\mathit{v}}_{\mathit{n}}={\mathit{t}}_{\mathit{n}}-20$, pour tout naturel $\mathit{n}$.
   Montrons que la suite $\left({\mathit{v}}_{\mathit{n}}\right)$ est géométrique de raison $\mathit{a}=0,99$.
   Soit $\mathit{n}$ un entier naturel; ${\mathit{v}}_{\mathit{n}+1}={\mathit{t}}_{\mathit{n}+1}-20=0,99\times {\mathit{t}}_{\mathit{n}}+0,2-20=0,99\times {\mathit{t}}_{\mathit{n}}-19,8$.
   Or: $0,99\times {\mathit{v}}_{\mathit{n}}=0,99\times \left({\mathit{t}}_{\mathit{n}}-20\right)=0,99\times {\mathit{t}}_{\mathit{n}}-0,99\times 20=0,99\times {\mathit{t}}_{\mathit{n}}-19,8$.
   Donc: ${\mathit{v}}_{\mathit{n}+1}=0,99\times {\mathit{v}}_{\mathit{n}}$, et ceci est vrai pour tout entier naturel $\mathit{n}$.
   Donc $\left({\mathit{v}}_{\mathit{n}}\right)$ est bien géométrique de raison $0,99$.
   Etape 3
   Notons que ${\mathit{v}}_0={\mathit{t}}_0-20=60-20=40$.
   Comme $\left({\mathit{v}}_{\mathit{n}}\right)$ est géométrique de raison $0,99$ et de premier terme $40$, on obtient: ${\mathit{v}}_{\mathit{n}}=40\times 0,{99}^{\mathit{n}}$.
   Par ailleurs, comme ${\mathit{v}}_{\mathit{n}}={\mathit{t}}_{\mathit{n}}-20$, on obtient: ${\mathit{v}}_{\mathit{n}}+20={\mathit{t}}_{\mathit{n}}$.
   Ce qui donne finalement: $40\times 0,{99}^{\mathit{n}}+20={\mathit{t}}_{\mathit{n}}$.


4. Comme 0<0,99<1, la suite $\left(0,{99}^{\mathit{n}}\right)$ est strictement décroissante.
   Comme $40>0$, la suite $\left(40\times 0,{99}^{\mathit{n}}\right)$ est également strictement décroissante.
   Et par là, la suite $\left({\mathit{t}}_{\mathit{n}}\right)$ est aussi strictement décroissante.


5. Comme 0<0,99<1, on a: $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\left(0,{99}^{\mathit{n}}\right)=0$.
   Donc: $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\left({\mathit{t}}_{\mathit{n}}\right)=40\times 0+20$ Soit: $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\left({\mathit{t}}_{\mathit{n}}\right)=20$.
   La température du radiateur tend vers 20 °C, ce qui est conforme à l'intuition.


6. Comme $\underset{\mathit{n}\to +\mathit{\infty }}{\lim }\left({\mathit{t}}_{\mathit{n}}\right)=20$, tous les termes ${\mathit{t}}_{\mathit{n}}$ deviennent aussi proches de $20$ que l'on veut pourvu que $\mathit{n}$ soit suffisamment grand.
   Donc, à partir d'un certain temps, la température du radiateur va passer en dessous de 21 °C.
   La raison n'est pas la stricte décroissance de la suite $\left({\mathit{t}}_{\mathit{n}}\right)$. Elle pourrait en effet être strictement décroissante sans jamais passer en dessous de 21!


7. Voici un programme convenable.
   
   La ligne 9 permet, à l'exécution du programme, d'afficher le résultat demandé dans la console. On peut s'en dispenser et écrire directement duree(21) derrière l'invite de commande de la console.
   Si temp=21, alors la fonction renvoie 368.
   La température du radiateur va passer en dessous de 21 °C au bout de 368 minutes (6 heures et 8 minutes).