$n$ peut s'écrire soit $3k$, soit $3k+1$, soit $3k+2$ (où $k$ est un entier naturel).

• Si $n=3k$, alors :
  $x=3k(9k^2+5)=3k'$, avec $k'=k(9k^2+5)$ entier naturel.
  On constate donc que $x$ est bien divisible par 3.
• Si $n=3k+1$, alors :
  $x=(3k+1)(9k^2+6k+1+5)=(3k+1)(9k^2+6k+6)=3(3k+1)(3k^2+2k+2)=3k'$, avec $k'=(3k+1)(3k^2+2k+2)$ entier naturel.
  On constate donc que $x$ est bien divisible par 3.
• Si $n=3k+2$, alors :
  $x=(3k+2)(9k^2+12k+4+5)=(3k+2)(9k^2+12k+9)=3(3k+2)(3k^2+4k+3)=3k'$, avec $k'=(3k+2)(3k^2+4k+3)$ entier naturel.
  On constate donc que $x$ est bien divisible par 3.

On a donc prouvé que, dans tous les cas, $x$ est divisible par 3.
La démonstration proposée ici est une démonstration par "disjonction de cas".

On a:    soit $x≡0$ $[3]$,    soit $x≡1$ $[3]$,    soit $x≡2$ $[3]$.

• $x≡0$ $[3]$    $⇔$    $5x≡5×0$ $[3]$    $⇔$    $5x≡0$ $[3]$. Cela ne convient pas.
• $x≡1$ $[3]$    $⇔$    $5x≡5×1$ $[3]$    $⇔$    $5x≡5$ $[3]$.
  Or: $5≡2$ $[3]$.    Donc:    $x≡1$ $[3]$     $⇔$    $5x≡2$ $[3]$. Cela convient parfaitement.
• $x≡2$ $[3]$    $⇔$    $5x≡5×2$ $[3]$    $⇔$    $5x≡10$ $[3]$.
  Or: $10≡1$ $[3]$.    Donc:    $x≡2$ $[3]$    $⇔$    $5x≡1$ $[3]$. Cela ne convient pas.

On a donc prouvé que:    $5x≡2$ $[3]$     $⇔$    $x≡1$ $[3]$.
Les solutions cherchées sont donc les nombres de la forme $3k+1$ (où $k$ est un entier relatif).
On peut aussi écrire: $S=\{3k+1, k∈ℤ\}$

On a: $5^2=25=8×3+1$ et $0≤1$ < $8$
Donc: $5^2≡1$ $[8]$.
Et par là: $(5^2)^n≡1^n$ $[8]$. Soit: $5^{2n}≡1$ $[8]$.
Et donc: $5^{2n}-1≡1-1$ $[8]$. Soit: $5^{2n}-1≡0$ $[8]$
Et cela prouve que $5^{2n}-1$ est un multiple de 8.

1. $a$ et $n$ sont premiers entre eux, donc, d'après le Théorème de Bézout, il existe des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $au+nv=1$.
   Donc: $au=-nv+1$, et il est clair que $0≤1 < n$. Donc le reste de la division euclidienne de $au$ par $n$ vaut 1, ce qui prouve que: $au≡1$ $[n]$.
   Il existe donc un entier relatif $u$ tel que $au≡1$ $[n]$. Donc $a$ admet un inverse modulo $n$.


2. On va montrer que $PGCD(15;22)=1$ par l'algorithme d'Euclide.
   Etape 1: $22=15×1+7$ avec $0≤7 < 15$
   Etape 2: $15=7×2+1$ avec $0≤1 < 7$
   Etape 3: $7=1×7+0$
   On a donc: $PGCD(15;22)=PGCD(22;15)=PGCD(15;7)=PGCD(7;1)=1$
   Donc 15 et 22 sont premiers entre eux.
   
   Il existe donc des entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $15u+22v=1$.
   On peut trouver $u$ et $v$ en "remontant" l'algorithme d'Euclide, en isolant les restes obtenus, et en procédant par substitutions successives.
   Ainsi, l'étape 2 nous donne: $15-7×2=1$  (a).
   Puis, l'étape 1 nous donne: $22-15×1=7$.
   Et en reportant dans (a), on obtient:   $15-(22-15×1)×2=1$
   Soit, en développant: $15×3+22×(-2)=1$
   $u=3$ et $v=-2$ conviennent.
   
   On a donc: $15×3+22×(-2)=1$, et par là: $15×3=22×2+1$.
   Et comme $0≤1 < 22$, cela prouve que: $15×3≡1$ $[22]$.
   Un inverse de 15 modulo 22 est donc 3.


3. Résolvons l'équation (E)   $15x≡12$ $[22]$
   (E)    $⇔$     $15×3x≡12×3$ $[22]$     $⇔$     $45x≡36$ $[22]$
   Or, comme $15×3≡1$ $[22]$, on a:    $15×3x≡1×x$ $[22]$, soit: $45x≡x$ $[22]$
   Et par là, on obtient:    (E)    $⇔$    $x≡36$ $[22]$
   Soit:     (E)    $⇔$    $x≡14$ $[22]$
   Les solutions cherchées sont donc les nombres de la forme $22k+14$ (où $k$ est un entier relatif).
   On peut aussi écrire: $S=\{22k+14, k∈ℤ\}$

On a $15x=22y$, et par là: 15 divise le produit $22y$.
Or, on a vu dans l'exemple précédent que 15 et 22 sont premiers entre eux.
Donc, d'après le théorème de Gauss, 15 divise $y$.
Donc il existe un relatif $k$ tel que $y=15k$.

Et par là, en reportant dans $15x=22y$, on obtient: $15x=22×15k$, soit: $x=22k$

Et réciproquement, on vérifie que, pour tout relatif $k$, le couple $(22k;15k)$ convient.
En effet, on a: $15×22k=22×15k$ .

Finalement, les solutions de l'équation $15x=22y$ dans $ℤ$ sont les couples $(22k;15k)$ avec $k$ entier relatif.

1. On a: $2×(-2)+5×1=1$ Donc $(u;v)=(-2;1)$ convient.
   On note ici le PGCD de 2 et 5 vaut 1, et que 4 en est un multiple. L'équation (E) admet donc des solutions.


2. Comme $2×(-2)+5×1=1$, on obtient: $2×(-2)×4+5×1×4=1×4$, soit: $2×(-8)+5×4=4$.
   Donc $(x_0;y_0)=(-8;4)$ est une solution particulière de (E).


3. On a donc: $2x_0+5y_0=4$.
   Donc: (E)     $⇔$     $2x+5y=2x_0+5y_0$     $⇔$     $2(x-x_0)=5(y_0-y)$
   
   On a: $2(x-x_0)=5(y_0-y)$, et par là: 2 divise le produit $5(y_0-y)$.
   Or, on a vu que 2 et 5 sont premiers entre eux.
   Donc, d'après le théorème de Gauss, 2 divise $y_0-y$.
   Donc il existe un relatif $k$ tel que $y_0-y=2k$.
   
   Et par là, en reportant dans $2(x-x_0)=5(y_0-y)$, on obtient: $2(x-x_0)=5×2k$, soit: $x-x_0=5k$
   
   Finalement, on a:   $x=x_0+5k=-8+5k$   et   $y=y_0-2k=4-2k$
   
   Et réciproquement, on vérifie que, pour tout relatif $k$, le couple $(-8+5k;4-2k)$ convient.
   En effet, on a: $2(-8+5k)+5(4-2k)=4$ .
   
   En conclusion, les solutions de l'équation (E) dans $ℤ$ sont les couples $(-8+5k;4-2k)$ avec $k$ entier relatif.

On a $x=n(n+2)(n^2+2n+1)=n(n+2)(n+1)^2=n(n+1)(n+2)×(n+1)$.
Or $n$, $n+1$ et $n+2$ sont 3 entiers consécutifs.
Donc l'un des 3 est divisible par 3.
Et par là, $x$ est divisible par 3.

Montrons que $x$ est divisible par 4.
On a $x=n(n+1)×(n+1)(n+2)$.
Or $n$ et $n+1$ sont 2 entiers consécutifs.
Donc l'un des 2 est divisible par 2. Et par là, $n(n+1)$ est divisible par 2.
Et de même, $(n+1)(n+2)$ est divisible par 2.
Par conséquent, $x$ est divisible par $2×2=4$.

Finalement, 3 et 4 divisent $x$.
Or, comme $3×(-1)+4×1=1$, les entiers $3$ et $4$ sont premiers entre eux.
Donc, d'après le corollaire du théorème de Gauss , $x$ est divisible par $3×4=12$.

On cherche la décomposition de 234 en produit de facteurs premiers.
On obtient: $234=2×117=2×3×39=2×3×3×13$
Soit: $234=2×3^2×13$

Par conséquent, les diviseurs de 234 sont de la forme $2^a×3^b×13^c$
où $0≤a ≤ 1$, $0≤b ≤ 2$ et $0≤c ≤ 1$ .
On peut alors dresser l'arbre de dénombrement suivant.

L'ensemble des diviseurs de 234 est donc:
$S=\{1, 2, 3, 6, 9, 13, 18, 26, 39, 78, 117, 234\}$

On décompose: $33=3×11$.

Comme 11 est premier, $n^{11}≡ n [11]$ (d'après le corollaire du petit théorème de Fermat).
Donc $n^{11}-n$ est divisible par 11.

Par ailleurs, on a: soit $n≡0 [3]$, soit $n≡1 [3]$ ,soit $n≡2 [3]$.

• Si $n≡0 [3]$, alors: $n^{11}≡ 0^{11} [3]$, c'est à dire: $n^{11}≡ 0 [3]$.
  Et, par différence, on a: $n^{11}-n≡ 0-0 [3]$, , c'est à dire que $n^{11}-n$ est divisible par 3.
• Si $n≡1 [3]$, alors: $n^{11}≡ 1^{11} [3]$, c'est à dire: $n^{11}≡ 1 [3]$.
  Et, par différence, on a: $n^{11}-n≡ 0 [3]$, , c'est à dire que $n^{11}-n$ est divisible par 3.
• Si $n≡2 [3]$, alors: $n^{11}≡ 2^{11} [3]$, c'est à dire: $n^{11}≡ 2048 [3]$.
  Et comme $2048=682×2+2$, on obtient: $n^{11}≡ 2 [3]$.
  Et, par différence, on a: $n^{11}-n≡ 0 [3]$, , c'est à dire que $n^{11}-n$ est divisible par 3.

Dans tous les cas, $n^{11}-n$ est divisible par 3.

Finalement, $n^{11}-n$ est divisible par 3 et par 11, nombres premiers entre eux.
Donc, d'après un corollaire du théorème de Gauss, $n^{11}-n$ est divisible par leur produit, c'est à dire par 33.