Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Nombres complexes

Définitions et propriétés

L'ensemble $\ℂ$ des nombres complexes est tel que:

  • $\ℝ$ est inclus dans $\ℂ$
  • Les règles de calcul dans $\ℝ$ se prolongent à $\ℂ$
  • Le nombre complexe $i$ vérifie $i^2=-1$
  • Tout nombre complexe $z$ s'écrit de manière unique sous la forme algébrique $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels.
    $x$, partie réelle de $z$, se note $\Re(z)$.
    $y$, partie imaginaire de $z$, se note $\Im(z)$.
  • ${z}↖{−}=x-iy$ est le conjugué de $z=x+iy$.
  • Un complexe de partie réelle nulle s'appelle un imaginaire pur.

Exemple

Ecrire les nombres complexes suivants sous forme algébrique:

  1. $z=(2+3i)(4-i)$
  2. $z=(2-3i)^2$
  3. $$z={2+3i}/{1-i}$$
Solution...
Corrigé
  1. $z=(2+3i)(4-i)=2×4-2×i+3i×4-3i×i=8-2i+12i-3×i^2$
    Soit: $z=8+10i-3×(-1)=8+10i+3=11+10i$.

  2. $z=(2-3i)^2=2^2-2×2×3i+(3i)^2=4-12i+9i^2=4-12i-9=-5-12i$.

  3. Pour éliminer le $i$ au dénominateur, on utilise le conjugué de ce dénominateur.
    $$z={2+3i}/{1-i}={(2+3i)(1+i)}/{(1-i)(1+i)}={2+2i+3i+3i^2}/{1^2-i^2}= {2+5i-3}/{1-(-1)}={-1+5i}/{2}=-0,5+2,5i$$

Ces calculs sont vérifiables à la calculatrice en "mode complexe".
Casio: Touche OPTN, puis valider le "mode complexe" CPLX par F3.
TI: Sélectionner le mode a+$i$b.
Réduire...

Propriété

Deux complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

Exemple

Déterminer le complexe $a$ sachant que $(a-1)+i(a+1)=2+3i$.

Solution...
Corrigé

Ecrivons $a$ sous forme algébrique; on pose $a=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels.
On a alors: $(x+iy-1)+i(x+iy+1)=2+3i$
Soit: $x+iy-1+ix+i^2y+i=2+3i$
Soit: $x+iy-1+ix-y+i=2+3i$
Soit: $(x-1-y)+i(y+x+1)=2+3i$
Par unicité de la forme algébrique, on obtient:
$\{\table x-1-y=2; y+x+1=3$
Soit: $\{\table x-y=3; x+y=2$
Soit: $\{\table x=2,5; y=-0,5$
Et par là: $a=2,5-0,5i$

Réduire...
Exemple

Résoudre sur $\ℂ$ l'équation $z^2+2i{z}↖{−}-6=0$.
Il est conseillé d'écrire $z$ sous forme algébrique, puis de déterminer un système équivalent à l'équation initiale.

Solution...
Corrigé

Posons $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.
On a alors: $z^2+2i{z}↖{−}-6= (x+iy)^2+2i(x-iy)-6=x^2-y^2+2y-6+2ix(y+1)$
Donc: $z^2+2i{z}↖{−}-6=0 ⇔ x^2-y^2+2y-6+2ix(y+1)=0+0i$
Donc: $z^2+2i{z}↖{−}-6=0 ⇔\{\table x^2-y^2+2y-6=0; 2x(y+1)=0$
On a remplacé une équation dans $\ℂ$ par un système dans $\ℝ$.
On a donc: $z^2+2i{z}↖{−}-6=0 ⇔\{\table x^2-y^2+2y-6=0; 2x=0$      ou      $\{\table x^2-y^2+2y-6=0; y+1=0$
Soit: $z^2+2i{z}↖{−}-6=0 ⇔\{\table y^2-2y+6=0; x=0$      ou      $\{\table x^2-9=0; y=-1$
Résolvons tout d'abord le premier système.
Le trinôme $ y^2-2y+6$ a pour discriminant $\Δ=(-2)^2-4 ×1 ×6=-20$. Comme $\Δ\text"<"0$, ce trinôme n'a pas de racines réelles, et par là, le premier système n'a pas de solution.
Résolvons ensuite le second système.
Le trinôme $x^2-9$ a pour racines -3 et 3.
Par ailleurs, on constate que $y=-1$.
Conclusion:
On obtient finalement: $z^2+2i{z}↖{−}-6=0 ⇔\{\table x=-3; y=-1$      ou      $\{\table x=3; y=-1$
On rappelle alors que l'on a posé $z=x+iy$ avec $x$ et $y$ réels.
L'équation initiale a donc 2 solutions complexes: $-3-i$ et $3-i$.

Réduire...

Définition

Soit $a$ un nombre réel.
Les solutions dans $\ℂ$ de l'équation $z^2=a$ sont appelées racines carrées de $a$ dans $\ℂ$.

Propriété

Soit $a$ un nombre réel.

Si $a=0$,
alors $a$ admet exactement 1 racine carrée dans $\ℂ$: le nombre 0.

Si $a\text">"0$,
alors $a$ admet exactement 2 racines carrées dans $\ℂ$: les réels $√a$ et $-√a$.

Si $a\text"<"0$,
alors $a$ admet exactement 2 racines carrées dans $\ℂ$:
les imaginaires purs $i√{-a}$ et $-i√{-a}$.

Exemple

Quelles sont les racines carrées dans $\ℂ$ de -3?
Ce sont les imaginaires purs $i√{-(-3)}=i√3$      et        $-i√{-(-3)}=-i√3$.


Equation du second degré à coefficients réels

Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels avec $a≠0$.
On considère l'équation $az^2+bz+c=0$ dont on cherche les racines dans $\ℂ$.

L'équation a pour discriminant $Δ=b^2-4ac$.

  • Si $Δ=0$, alors l'équation a 1 unique solution, le réel ${-b}/{2a}$.

  • Si $Δ\text">"0$, alors l'équation a 2 solutions, les réels ${-b-√Δ}/{2a}$ et ${-b+√Δ}/{2a}$.

  • Si $Δ\text"<"0$, alors l'équation a 2 solutions, les complexes conjugués ${-b-i√{-Δ}}/{2a}$ et ${-b+i√{-Δ}}/{2a}$.

Propriété

Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels avec $a≠0$.
Soient $z_1$ et $z_2$ les racines de l'équation $az^2+bz+c=0$ (avec éventuellement $z_1=z_2$.
Le trinôme se factorise alors sous la forme: $az^2+bz+c=a(z-z_1)(z-z_2)$.

Exemple

Résoudre dans $\ℂ$ chacune des équations suivantes, puis factoriser le trinôme correspondant.
$3z^2-z-2=0$.
$z^2-z+1=0$.
$z^2+3=0$.

Solution...
Corrigé

$3z^2-z-2$ est un trinôme à coefficients réels.
Avec les notations usuelles:$a=3$, $b=-1$ et $c=-2$.
$Δ=b^2-4ac=1-(-24)=25$.
$Δ\text">"0$, donc l'équation a 2 solutions dans $\ℂ$:
les réels ${-b-√Δ}/{2a}={1-5}/{6}={-2}/{3}$      et       ${-b+√Δ}/{2a}={1+5}/{6}=1$.
$\S=\{{-2}/{3};1\}$.
On a alors: $3z^2-z-2=3(z-{-2}/{3})(z-1)=3(z+{2}/{3})(z-1)$.

$z^2-z+1$ est un trinôme à coefficients réels.
Avec les notations usuelles:$a=1$, $b=-1$ et $c=1$.
$Δ=b^2-4ac=1-4=-3$.
$Δ\text"<"0$, donc l'équation a 2 solutions dans $\ℂ$:
les complexes conjugués ${-b-i√{-Δ}}/{2a}={1-i√{3}}/{2}={1}/{2}-i{√{3}}/{2}$      et        ${-b+i√{-Δ}}/{2a}={1+i√{3}}/{2}={1}/{2}+i{√{3}}/{2}$.
$\S=\{{1}/{2}-i{√{3}}/{2};{1}/{2}+i{√{3}}/{2}\}$.
On a alors: $z^2-z+1=3(z-({1}/{2}-i{√{3}}/{2}))(z-({1}/{2}+i{√{3}}/{2}))=3(z-{1}/{2}+i{√{3}}/{2})(z-{1}/{2}-i{√{3}}/{2})$.

$z^2+3$ est un trinôme à coefficients réels, dont les racines dans $\ℂ$ sont , de façon évidente, les racines carrées dans $\ℂ$ de -3.
C'est à dire $-i√3$ et $i√3$.
$\S=\{-i√3;i√3\}$.
On a alors: $z^2-z+1=1(z-(-i√3))(z-i√3)=(z+i√3)(z-i√3)$.

Réduire...

Savoir faire
Attention!
Les résultats proposés sur les équations du second degré ne concernent que les équations du second degré à coefficients réels. Si l'un des trois coefficients n'est pas réel, les résultats ne sont plus valides (voir exercice 1 (question 4) sur les complexes).


Définition

Le plan complexe est le plan muni d'un répère orthonormal direct $(O,I,J)$.
A tout nombre complexe $z=x+iy$, avec $x$ et $y$ réels, on associe le point M de coordonnées $(x;y)$.

M est le point image de $z$.
${OM}↖{→}$ est le vecteur image de $z$.
$z$ est l'affixe du point M et du vecteur ${OM}↖{→}$.

L'axe des abscisses s'appelle aussi l'axe des réels.
L'axe des ordonnées s'appelle aussi l'axe des imaginaires purs.

Propriété

Deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs affixes sont égales.

Propriété

Si $k$ est un réel, et si ${u}↖{→}$ et ${v}↖{→}$ sont deux vecteurs d'affixes respectives $z$ et $z'$,
alors ${u}↖{→}+{v}↖{→}$ a pour affixe $z+z'$,
et $k{u}↖{→}$ a pour affixe $kz$.

Propriété

Si A et B sont deux points du plan complexe d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$,
alors le vecteur ${AB}↖{→}$ a pour affixe $$z_B-z_A$$,
et le milieu du segment $[AB]$ a pour affixe $${z_A+z_B}/{2}$$.

Exemple

Dans le plan complexe, A, B et D sont 3 points d'affixes respectives $z_A=-2-0,5i$, $z_B=2-i$ et $z_D=-1+1,5i$.
Déterminer l'affixe $z_C$ du point C tel que ABCD soit un parallélogramme.
Déterminer l'affixe $z_E$ du centre E de ABCD.
Soit F point d'affixe $z_F={2}/{3}i$. Montrer que B, D et F sont alignés.
Faire une figure et vérifier ces résultats.

Solution...
Corrigé

ABCD est un parallélogramme$⇔{AB}↖{→}={DC}↖{→}⇔z_B-z_A=z_C-z_D$
Donc: ABCD est un parallélogramme$⇔2-i-(-2-0,5i)=z_C-(-1+1,5i)$
Donc: ABCD est un parallélogramme$⇔2-i+2+0,5i-1+1,5i=z_C$
Donc: ABCD est un parallélogramme$⇔3+i=z_C$
Par conséquent, C a pour affixe $3+i$.

Le centre E du parallélogramme ABCD est le milieu de ses diagonales, par exemple de $[BD]$.
Donc $z_E={z_B+z_D}/{2}={2-i+(-1+1,5i)}/{2}={1+0,5i}/{2}=$$0,5+0,25i$.

${BD}↖{→}$ a pour affixe: $z_{{BD}↖{→}}=z_D-z_B=-1+1,5i-(2-i)=-1+1,5i-2+i=-3+2,5i$,
${BF}↖{→}$ a pour affixe: $z_{{BF}↖{→}}=z_F-z_B={2}/{3}i-(2-i)={2}/{3}i-2+i=-2+{5}/{3}i$,
On constate que: $z_{{BD}↖{→}}={3}/{2}z_{{BF}↖{→}}$, et donc que: ${BD}↖{→}={3}/{2}{BF}↖{→}$.
Par conséquent, les vecteurs ${BD}↖{→}$ et ${BF}↖{→}$ étant colinéaires, les points B, D et F sont alignés.

Tout se vérifie sur la figure ci-dessous.
fig1

Réduire...

Propriété

Dans le plan complexe, 2 points d'affixes conjuguées sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

fig2

Propriétés

Si $z$ est un nombre complexe, alors:

$${{z}↖{−}}↖{−}=z$$                  $$z+{z}↖{−}=2\Re(z)$$                  $$z-{z}↖{−}=2i\Im(z)$$.

$z∈\ℝ ⇔z={z}↖{−}$                  $z$ est un imaginaire pur $⇔z=-{z}↖{−}$.

Opérations

Si $z$ et $z'$ sont 2 nombres complexes et si $n$ est un entier naturel non nul, alors:

$$\ov{z+z'}={z}↖{−}+\ov{z'}$$                  $$\ov{zz'}={z}↖{−}\ov{{z'}$$                  $$\ov{{z^n}}={{z}↖{−}}^n$$.

$$\ov{({1}/{z})}={1}/{{z}↖{−}}$$   (pour $z$ non nul)                  $$\ov{({z}/{z'})}={{z}↖{−}}/{\ov{z'}}$$   (pour $z'$ non nul)
Exemple

Déterminer la forme algébrique de $c=\ov{iz}+{z+2\Re{z}-{z}↖{−}}/{iz}$ pour $z=2+3i$.

Solution...
Corrigé

$c=\ov{iz}+{2\Re{z}+(z-{z}↖{−})}/{iz}={i}↖{−}{z}↖{−}+{{2(\Re{z}+i\Im{z})}/{iz}=-i{z}↖{−}+{{2z}/{iz}=-i{z}↖{−}+{{2}/{i}$
Soit: $c=-i(2-3i)+{2i}/{i^2}=-2i+3i^2-2i=-2i-3-2i=-3-4i$

Réduire...

Définition

Soit $z$ un nombre complexe de forme algébrique $x+iy$.
Le module de $z$ est le nombre réel positif, noté $|z|$, défini par $$|z|=√{x^2+y^2}$$.
Si, dans le plan complexe muni du repère (O,I,J), $z$ a pour point image M,
alors $$OM=|z|$$;
et si $z$ est non nul,
alors son argument, noté $\arg z$, est n'importe quelle mesure (en radians) de l'angle orienté $({OI}↖{→};{OM}↖{→})$;
et si l'on pose $\arg z=θ\, [2 π]$,
alors on obtient une forme trigonométrique de $z$:
$$z=|z|(\cos θ+i\sin θ)$$.

fig3

Propriété

Si $z$ est un nombre complexe, alors:

$$z{z}↖{−}=|z|^2$$

Si $z$ et $z'$ sont 2 nombres complexes, alors, ils vérifient l'inégalité triangulaire:

$$|z+z'|≤|z|+|z'|$$

Propriété

Si $z$ est un nombre complexe, $r$ un réel strictement positif, et $θ$ un réel, alors:

$z=r(\cos θ+i\sin θ)$     $⇔$      $|z|=r$      et      $\arg z=θ\, [2 π]$
Exemple

On pose $z=1-i√{3}$.
Déterminer le module et un argument de $z$. Ecrire $z$ sous forme trigonométrique.

Solution...
Corrigé

$|z|=√{1^2+(-√{3})^2}=√{1+3}=2$
On factorise: $z=2({1}/{2}-i{√{3}}/{2})$.
On note alors que: $z=2(\cos (-{π}/{3})+i\sin (-{π}/{3}))$.
C'est l'écriture de $z$ sous forme trigonométrique.
Par conséquent: $\arg z=-{π}/{3}\, [2 π]$.

Réduire...

Propriétés

Si $z$ est un nombre complexe non nul, alors:

$$|-z|=|z|$$      $$\arg(-z)=\arg z+π\, [2 π]$$

$$|{z}↖{−}|=|z|$$         $$\arg({z}↖{−})=-\arg z\, [2 π]$$.

fig4
$z∈\ℝ⇔\arg(z)=0\,[2 π]$ ou $\arg(z)=π\,[2 π]$.
$z$ est imaginaire pur si et seulement si $\arg(z)={π}/{2}\,[2 π]$ ou $\arg(z)=-{π}/{2}\,[2 π]$.

Opérations

Si $z$ et $z'$ sont 2 nombres complexes non nuls et si $n$ est un entier naturel, alors:

$$|zz'|=|z||z'|$$                 $$\arg(zz')=\arg z+\arg z'\, [2 π]$$

$$|{z}/{z'}|={|z|}/{|z'|}$$                 $$\arg({z}/{z'})=\arg z-\arg z'\, [2 π]$$

$$|z^n|=|z|^n$$                 $$\arg(z^n)=n\arg z\, [2 π]$$
Exemple

Soit $z=1+i$ et $z'=√3-i$.
Déterminer modules et arguments de $z$ et de $z'$.
Trouver une forme trigonométrique de $zz'$.
En déduire la valeur exacte de $\cos {π}/{12}$ et $\sin ({π}/{12})$.

Solution...
Corrigé

$|z|=√{1^2+1^2}=√2$
On factorise: $z=√2({1}/{√2}+i{1}/{√2})=√2({√2}/{2}+i{√2}/{2})$.
On note alors que: $z=√2(\cos ({π}/{4})+i\sin ({π}/{4}))$.
C'est l'écriture de $z$ sous forme trigonométrique.
Par conséquent: $\arg z={π}/{4}\, [2 π]$.

$|z'|=√{(√3)^2+(-1)^2}=√4=2$
On factorise: $z'=2({√3}/{2}-i{1}/{2})$.
On note alors que: $z'=2(\cos (-{π}/{6})+i\sin (-{π}/{6}))$.
C'est l'écriture de $z'$ sous forme trigonométrique.
Par conséquent: $\arg z'=-{π}/{6}\, [2 π]$.

Et par là, on obtient:
$|zz'|=|z||z'|=√2×2=2√2$.
$\arg(zz')=\arg z+\arg z'={π}/{4}+(-{π}/{6})={3π-2π}/{12}={π}/{12}\, [2 π]$.
Donc, $zz'$ admet pour forme trigonométrique: $2√2(\cos {π}/{12}+\sin {π}/{12})$.

Or: $zz'=(1+i)(√3-i)=√3-i+i√3-i^2=√3-i+i√3+1=√3+1+(√3-1)i$.
Soit: $zz'=2√2({√3+1}/{2√2}+{√3-1}/{2√2}i)$.
Par conséquent, on obtient finalement: $\cos {π}/{12}={√3+1}/{2√2}$ et $\sin {π}/{12}={√3-1}/{2√2}$.

Réduire...

Interprétation géométrique

Soit A et B deux points d'affixes respectives $z_A$ et $z_B$ dans le plan complexe muni d'un répère orthonormal direct $(O,I,J)$.

$$AB=|z_B-z_A|$$

$$\arg(z_B-z_A)=({OI}↖{→};{AB}↖{→})\, [2 π]$$ pour A et B distincts.

Exemple

Soit A d'affixe $-1$,    B d'affixe $√3-1+i$    et C d'afffixe $√2-1+yi$ (avec $y$ réel strictement positif).
ABC est isocèle en A.
Déterminer la valeur de $y$.
Déterminer une mesure de l'angle $({AB}↖{→};{AC}↖{→})$.

Solution...
Corrigé

ABC est isocèle en A,donc: $AB=AC$.
Or: $AB=|z_B-z_A|=|√3-1+i+1|=|√3+i|=√{{√3}^2+1^2}=√4=2$.
Et: $AC=|z_C-z_A|=|√2-1+yi+1|=|√2+yi|=√{{√2}^2+y^2}=√{2+y^2}$.
Donc: $AB=AC⇔2=√{2+y^2}⇔4=2+y^2⇔2=y^2$.
Et comme $y$ est un réel strictement positif, on obtient: $AB=AC ⇔y=√{2}$.
Finalement: $ y=√{2}$.

$({AB}↖{→};{AC}↖{→})=({AB}↖{→};{OI}↖{→})+({OI}↖{→};{AC}↖{→})=({OI}↖{→};{AC}↖{→})-({OI}↖{→};{AB}↖{→})$.
Soit: $({AB}↖{→};{AC}↖{→})=\arg(z_C-z_A)-\arg(z_B-z_A)$
Or: $z_C-z_A=√2-1+√2i+1=√2+√2i$.
Et on a vu que: $|z_C-z_A|=|z_B-z_A|=2$.
On factorise: $z_C-z_A=2({√2}/{2}+i{√2}/{2})$.
On note alors que: $z_C-z_A=2(\cos ({π}/{4})+i\sin ({π}/{4}))$.
C'est l'écriture de $z_C-z_A$ sous forme trigonométrique.
Par conséquent: $\arg (z_C-z_A)={π}/{4}\, [2 π]$.

De même, on obtient: $z_B-z_A=2({√3}/{2}+i{1}/{2})$.
On note alors que: $z_B-z_A=2(\cos ({π}/{6})+i\sin ({π}/{6}))$.
C'est l'écriture de $z_B-z_A$ sous forme trigonométrique.
Par conséquent: $\arg (z_B-z_A)={π}/{6}\, [2 π]$.

Par conséquent, on obtient finalement: $({AB}↖{→};{AC}↖{→})={π}/{4}-{π}/{6}={π}/{12}\, [2 π]$.
Une mesure de l'angle $({AB}↖{→};{AC}↖{→})$ est ${π}/{12}$.

Réduire...

Définition

Soit $z$ un nombre complexe non nul dont un argument est $θ$.
Une forme exponentielle de $z$ est l'écriture $$z=|z|e^{iθ}$$,
où $e^{iθ}$ désigne le nombre complexe de module 1 et dont un argument est $θ$.
Ainsi: $$e^{iθ}=\cos θ+i \sin θ$$

Propriétés

Si $θ$ et $θ'$ sont 2 nombres réels et si $n$ est un entier naturel, alors:

$$|e^{iθ}|=1$$                 $$\arg(e^{iθ})=θ\, [2 π]$$

$$e^{iθ}×e^{iθ'}=e^{i(θ+θ')}$$                 $$(e^{iθ})^n=e^{inθ}$$      (formule de Moivre)

$${1}/{e^{iθ}}=e^{-iθ}=\ov {e^{iθ}} $$                 $${e^{iθ}}/{e^{iθ'}}=e^{i(θ-θ')}$$

$$e^{iθ}=e^{iθ'}⇔θ=θ'\, [2 π]$$
Exemple

Soit $z={1+i√3}/{1+i}$.
Ecrire $z$ sous forme exponentielle.
Calculer $z^{30}$.

Solution...
Corrigé

$|1+i√3|=√{1^2+(√3)^2}=√4=2$
On factorise: $1+i√3=2({1}/{2}+i{√3}/{2})$.
On note alors que: $1+i√3=2(\cos ({π}/{3})+i\sin ({π}/{3}))=2e^{i{π}/{3}}$.

$|1+i|=√{1^2+1^2}=√2$
On factorise: $1+i=√2({1}/{√2}+i{}/{√2})=√2({√2}/{2}+i{√2}/{2})$.
On note alors que: $1+i=√2(\cos ({π}/{4})+i\sin ({π}/{4}))=√2e^{i{π}/{4}}$.

D'où: $z={2e^{i{π}/{3}}}/{√2e^{i{π}/{4}}}=√2e^{i({π}/{3}-{π}/{4})}=√2e^{i{π}/{12}$.

Et finalement: $z^{30}=(√2)^{30}e^{i{30π}/{12}}=2^{15}e^{i{5π}/{2}$.
Et comme ${5π}/{2}={π}/{2}\, [2 π]$, on obtient: $z^{30}=2^{15}e^{i{π}/{2}}=2^{15}i$.

Réduire...

Savoir faire
Quel est l'intérêt de mettre des complexes sous leur forme exponentielle?
Il est alors beaucoup plus facile de les multiplier entre eux, d'en faire des quotients, ou de les élever à une certaine puissance.

Copyright 2013 - maths-s.com - Toute reproduction interdite - Tous droits réservés.