Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Lois à densité

Remarque: dans tout ce qui suit, les repères sont supposés orthogonaux.

Définition

Une variable aléatoire définie sur l'univers $Ω$ d'une expérience aléatoire est dite continue lorsqu'elle peut prendre comme valeurs tous les nombres réels d'un intervalle I.

Exemple

Jean attend son bus. Il est certain que son bus arrivera dans moins de 10 minutes.
Soit X son temps d'attente (en minutes).

La variable aléatoire X est continue car elle peut prendre comme valeurs tous les nombres réels de l'intervalle [0;10[.
Par exemple, $X=1,3$ signifie que le bus arrive au bout de 1 minute et 18 secondes (car $0,3×60=18$).


Définition

Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle I.

Si
  • $f$ est continue
  • $f$ est positive

alors $f$ est une densité si et seulement si

  • l'aire située entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut 1

Exemple

Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=0,1$ sur $[0;10]$.
Montrer que $f$ est une densité.

Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=a x$ sur $[1;5]$.
Déterminer la valeur de $a$ pour que $g$ soit une densité.

Solution...
Corrigé

fig11
La fonction $f$ est clairement continue et positive.
L'aire située entre $C_f$ et l'axe des abscisses vaut: $$A=∫_0^{10} f(x)dx$$
Or, le domaine dont on cherche l'aire est un rectangle de côtés 10 et 0,1.
Donc: $$A=10×0,1=1$$
Finalement, les trois conditions suffisantes sont vérifiées, et par là, $f$ est bien une densité.
Remarque: $f$ est la densité d'une loi dite "uniforme" sur $[0;10]$.


fig12
Quel que soit $a$, la fonction $g$, linéaire, est continue.
Par ailleurs, comme $x\text">"0$ (pour $x$ dans $[1;5]$), la fonction $g$ est positive si et seulement si $a$ l'est.
On a donc $a\text">"0$.
Par ailleurs, $g$ étant désormais positive et continue, l'aire du domaine situé entre $C_g$ et l'axe des abscisses vaut: $$A=∫_1^{5} g(t)dt$$
Il est nécessaire et suffisant que cette aire vaille 1.
Or, le domaine dont on cherche l'aire est un trapèze de bases $g(1)$ et $g(5)$ et de hauteur $5-1$.
Son aire vaut donc: ${g(1)+g(5)}/{2}×(5-1)={a+5a}/{2}×4=12a$.
On obtient donc $12a=1$. Et par là: $a={1}/{12}$. Notons que la valeur trouvé est bien positive.
Dès lors, les trois conditions sont vérifiées pour que $g$ soit une densité.

Réduire...

Définition

Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans l'intervalle I.
X suit la loi de densité $f$ si
pour tout intervalle J inclus dans I, $p(X∈J)$ est l'aire du domaine D,
$$D=\{M(x;y) \text"  tel que  " x∈J \text"  et  " 0≤y≤f(x)\}$$
(D est le domaine situé entre $C_f$ et l'axe des abscisses pour $x$ dans J).

Propriété

Soit X une variable aléatoire continue de densité $f$ à valeurs dans l'intervalle I.
Pour tous réels $a$ et $b$ de I avec $a≤b$, on a: $$p(a≤X≤b)=∫_a^b f(x)dx$$.

Remarques: $p(X=a)=0$
   $$p(a≤X≤b)=p(a<X≤b)=p(a≤X<b)=p(a<X<b)$$
   On prolonge souvent $f$ à $\ℝ$ tout entier en la supposant nulle ailleurs qu'en I.

Exemple

Chaque jour, Jean prend le bus pour se rendre au lycée.
Il a constaté que son temps d'attente X (en minutes) suit une loi de densité $h$ définie par $h(x)=0,01x$ sur $[0;10]$.
Aujourd'hui, Jean arrive à l'arrêt de bus.
1. Quelle est la probabilité qu'il attende moins de 7 minutes.
2. Quelle est la probabilité que son temps d'attente soit compris entre 7 et 9 minutes.

Solution...
Corrigé

1. La probabilité cherché est: $$p(0≤X≤7)=∫_0^7 h(x)dx$$.
Or, le domaine dont on cherche l'aire est un triangle rectangle de base $7-0=7$ et de hauteur $h(7)=0,01×7=0,07.
Donc: $$p(0≤X≤7)={7×0,07}/{2}=0,245$$

2. La probabilité cherché est: $$p(7≤X≤9)=∫_7^9 h(x)dx$$.
Or, le domaine dont on cherche l'aire est un trapèze de bases $h(7)=0,07$ et $h(9)=0,09$ et de hauteur $9-7=2.
Donc: $$p(7≤X≤9)={0,07+0,09}/{2}×2=0,16$$

La densité $h$ est représentée ci-dessous.
Les aires des parties hachurées (en unités d'aires) correspondent aux probabilités cherchées.

fig1
Réduire...

Définition

L' espérance d'une variable aléatoire continue X à valeurs dans l'intervalle $[a;b]$ et de densité $f$ est définie par l'égalité $$E(X)=∫_a^b x.f(x)dx$$.

Exemple

On reprend l'énoncé de l'exemple précédent. On admet que l'espérance de X vaut ${10}/{3}$.
Interprétez cette valeur de deux façons différentes.

Solution...
Corrigé

Première interprétation.
On a: ${10}/{3}=3+{1}/{3}$.
Sur un très grand nombre de jours, le temps d'attente moyen de Jean tend certainement vers 3 minutes et 20 secondes.

Seconde interprétation.
On a: $$E(X)=∫_0^{10} x.h(x)dx=∫_0^{10} 0,01x^2 dx$$.
Le trinôme du second degré $0,01x^2$ est continu et positif.
Donc $E(X)$ représente l'aire du domaine situé entre la parabole représentant le trinôme, l'axe des abscisses, et la droite d'équation $x=10$.
Le domaine hachuré ci-dessous a donc une aire égale à ${10}/{3}$ d'unités d'aires.
fig10

Réduire...

Définition

Soit $a$ et $b$ deux réels avec $a<b$.
La variable aléatoire continue X suit une loi uniforme sur l'intervalle $[a;b]$ si elle admet une densité $f$ définie sur $ℝ$ par:

  • $f(x)={1}/{b-a}$ si $x∈[a;b]$
  • $f(x)=0$ si $x∉[a;b]$
fig2

Propriété

Si X est une variable aléatoire uniforme à valeurs dans l'intervalle $[a;b]$,
alors, pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[a;b]$, on a: $$p(c≤X≤d)={d-c}/{b-a}$$.

Propriété

L' espérance d'une variable aléatoire uniforme X à valeurs dans l'intervalle $[a;b]$ est définie par l'égalité $$E(X)={a+b}/{2}$$.

Exemple

On choisit au hasard un réel de l'intervalle [13;23].

  1. Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire X qui donne la valeur du nombre choisi?
  2. Quelle est la probabilité que ce nombre soit entre 15 et 20?
  3. Représentez $f$ et faire apparaître sur le dessin la valeur trouvée au 2.
  4. Sur un très grand nombre d'expériences, vers quel réel tend, en moyenne, la valeur du nombre choisi ?
Solution...
Corrigé

  1. X suit une loi uniforme sur [13;23], de densité $f(x)={1}/{23-13}={1}/{10}=0,1$.
  2. La probabilité cherché est: $$p(15≤X≤20)={20-15}/{23-13}$$.
    Soit: $$p(15≤X≤20)={5}/{10}=0,5$$.
  3. $f$ est représentée ci-contre.

    La probabilité trouvée au 2. est l'aire (en unités d'aires) du rectangle hachuré de côtés 5 et 0,1.
    fig3
  4. Sur un très grand nombre d'expériences, la valeur moyenne du nombre choisi tend vers $E(x)$, c'est à dire vers ${13+23}/{2}=18$.
Réduire...

Définition

Soit $λ$ un réel strictement positif.
La variable aléatoire continue X suit la loi exponentielle de paramètre $λ$ sur l'intervalle $[0;+∞[$ si elle admet une densité $f$ définie sur $[0;+∞[$ par: $f(x)=λe^{-λx}$

fig9

Propriété

Si X est une variable aléatoire exponentielle de paramètre $λ$,
alors, pour tout intervalle $[c;d]$ inclus dans $[0;+∞[$ , on a:
$$p(c≤X≤d)=e^{-λc}-e^{-λd}$$   et    $$p(c≤X)=e^{-λc}$$.

Propriété

L' espérance d'une variable aléatoire exponentielle de paramètre $λ$ est définie par l'égalité $$E(X)={1}/{λ}$$.

Exemple

Les probabilités seront arrondies à 0,001 près.
L'entreprise Duflan produit des appareils dont la durée de vie X suit une loi exponentielle de paramètre $λ$.
La durée de vie moyenne de ces appareils est de 15 mois.

  1. Quelle est la valeur de $λ$?
    Donner la fonction de densité $f$ de X.
  2. Calculer la probabilité qu'un appareil vive plus de 2 ans.
  3. Monsieur Benet possède un appareil qui n'a jamais eu de panne depuis 2 ans. Quelle est la probabilité qu'il fonctionne encore pendant 3 ans?
Solution...
Corrigé

  1. Comme la durée de vie moyenne de ces appareils est de 15 mois, on a: $E(X)=15$.
    Or, comme X suit une loi exponentielle de paramètre $λ$, on a: $E(X)={1}/{λ}$.
    Et par là: ${1}/{λ}=15$, et donc: $λ={1}/{15}$.
    Et finalement: $f(x)={1}/{15}e^{-{1}/{15}x}$ pour $x≥0$ et $f(x)=0$ pour $x<0$.

  2. 2 ans représentent 24 mois.
    On calcule donc: $p(24≤X)=e^{-{1}/{15}24}≈0,202$.
    La probabilité qu'un appareil vive plus de 2 ans est d'environ 0,202.

  3. 3 ans représentent 36 mois.
    On cherche donc $p_{24≤X}(24+36≤X)$.
    Or: $p_{24≤X}(24+36≤X)={p((24+36≤X)∩(24≤X))}/{p(24≤X)}$.
    Et comme $(24+36≤X)∩(24≤X)=(24+36≤X)$, on obtient: $p_{24≤X}(24+36≤X)={p(24+36≤X)}/{p(24≤X)}$.
    Soit: $p_{24≤X}(24+36≤X)={e^{-{1}/{15}(24+36)}}/{e^{-{1}/{15}24}}=e^{-{1}/{15}36}≈0,091$.
    La probabilité que l'appareil de monsieur Benet fonctionne encore pendant 3 ans est d'environ 0,091.
    On note que le résultat trouvé est égal à $p(36≤X)$.
    Le fait qu'il aie déjà 2 ans n'influe pas sur la probabilité qu'il vive encore 3 ans.
    Remarque: on peut démontrer ainsi qu'une variable aléatoire suivant une loi exponentielle est sans viellissement, c'est à dire que, pour tous $t$ réel et $x$ réel positif, on a: $p_{t≤X}(t+x≤X)=p(x≤X)$.
Réduire...

Théorème de Moivre-Laplace

Soit $p$ un réel de l'intervalle [0;1].
Pour chaque entier naturel $n$, on appelle $X_n$ la binomiale de paramètres $n$ et $p$,
et on appelle $Z_n$ la variable centrée réduite associée à $X_n$, définie par l'égalité $Z_n={X_n-np}/{√{np(1-p)}}$.
Si $a$ et $b$ sont 2 réels tels que $a\text"<"b$, alors $$\lim↙{n→+∞}p(a≤Z_n≤b)=∫_a^b {1}/{√{2 π}}e^{-{x^2}/{2}}dx$$

Remarque pratique
Très beau théorème, permettant de mieux appréhender la théorie de la fluctuation (voir chapitre suivant), mais difficilement utilisable dans un exercice de type bac.


Définition

La variable aléatoire continue X suit la loi normale centrée réduite
si elle admet pour densité la fonction $f$ définie sur $ℝ$ par $f(x)={1}/{√{2 π}}e^{-{x^2}/{2}}$.
On note: X suit la loi $$N(0,1)$$.

Propriété

La densité $f$ de la loi normale centrée réduite
est représentée par une "courbe en cloche"
symétrique par rapport à l'axe des ordonnées
(dans un repère orthogonal).

fig4

Propriété

Si X suit la loi $N(0,1)$ de densité $f$,
alors, pour tout nombre réel $α $ de $]0;1[,
il existe un unique nombre réel $u_α $ strictement positif tel que $p(-u_α≤X≤u_α)=1- α$.

En particulier, pour $α=5\%$, on obtient $u_α≈1,96$.
soit: $$p(-1,96≤X≤1,96)=∫_{-1,96}^{1,96} f(x)dx≈0,95$$ .

fig5


En particulier, pour $α=1\%$, on obtient $u_α≈2,58$.
soit: $$p(-2,58≤X≤2,58)=∫_{-2,58}^{2,58} f(x)dx≈0,99$$ .

Définition

Soit $μ$ (mu) et $σ$ (sigma) deux réels avec $σ>0$.
La variable aléatoire continue X suit une loi normale d'espérance $μ$ et d'écart-type $σ$
si la variable aléatoire continue ${X-μ}/{σ}$ suit la loi normale centrée réduite.
On note: X suit la loi $$N(μ,σ^2)$$.

Propriété

La loi normale centrée réduite est une loi normale d'espérance 0 et d'écart-type 1.

Propriété

Si X suit la loi $N(μ,σ^2)$ et a pour densité $f$,
alors $\C_f$ est une "courbe en cloche"
symétrique par rapport à la droite d'équation $x=μ$.

Par conséquent, l'aire en vert est égale à celle en rouge. Et donc, pour tout réel $a$ positif,
on a: $p(X\text"<"μ-a)=p(μ+a\text"<"X)$.

fig6

Or, la somme de l'aire verte, de l'aire rouge et de celle hachurée en noir vaut 1.
Soit: $p(X\text"<"μ-a)+p(μ+a\text"<"X)+p(μ-a≤X≤μ+a)=1$.
Par conséquent, on obtient: $$p(X\text"<"μ-a)=p(μ+a\text"<"X)={1-p(μ-a≤X≤μ+a)}/{2}$$.

Pour des raisons similaires, on a:
$$p(X≤μ+a)=0,5+p(μ≤X≤μ+a)$$ et $$p(μ-a≤X)=p(μ-a≤X≤μ)+0,5$$.

Propriété

Soit $X=N(μ,σ^2)$ de densité $f$.
Plus l'écart-type $σ$ est grand,
plus les valeurs prises par X sont dispersées autour de l'espérance $μ$,
et plus la courbe $\C_f$ est aplatie.

fig7
Cela se confirme par la constance des 3 valeurs (arrondies par défaut) des probabilités qui suivent:
$$p(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0,68$$
$$p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95$$
$$p(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0,997$$
fig8


Remarque pratique
Si X suit la loi $N(μ,σ^2)$, alors tout calcul du type $p(a≤X≤b)$ se fait à la calculatrice.
Pour les TI: 2de DISTR, puis: normalFRép($a,b,μ,σ$) ou bien: normalcdf($a,b,μ,σ$)
Pour les Casio: STAT DIST NORM, puis: Ncd $a,b,σ,μ$
ou bien encore: Ncd avec Data: var, Lower: $a$, Upper: $b$, $σ$: $σ$, $μ$: $μ$ (suivant modèle)

Pour calculer $p(a≤X)$, faire comme ci-dessus avec $b=10^{99}$.

Pour calculer $p(X≤b)$, faire comme ci-dessus avec $a=-10^{99}$.

Réciproquement:
Pour calculer $b$ tel que $p(X≤b)=k$, où $k$ est un nombre donné,
avec une TI: 2de DISTR, puis: FracNormale($k,μ,σ$) ou bien: invNorm($k,μ,σ$)
avec une Casio: STAT DIST NORM, puis: InvN $Left,k,σ,μ$.
Notez qu'on peut aussi procéder par essais successifs!

Exemple

Soit $X=N(17,3^2)$ . Déterminons $p(20≤X)$ avec calculatrice puis sans calculatrice.

A la calculatrice, on obtient: $p(20≤X)≈p(20≤X≤10^{99})≈0,16$.
Retrouvons ce résultat sans la calculatrice!
Pour X=$N(μ,σ^2)$, on sait que, si $a$ est strictement positif, $p(μ+a≤X)={1-p(μ-a≤X≤μ+a)}/{2}$.
En appliquant ceci pour $a=σ$, on obtient: $p(μ+σ≤X)={1-p(μ-σ≤X≤μ+σ)}/{2}$.
Soit: $p(μ+σ≤X)≈{1-0,68}/{2}≈0,16$.
Soit, pour la loi donnée: $p(17+3≤X)≈0,16$. Et finalement: $p(20≤X)≈0,16$.

Exemple

Dans ce problème, toute valeur sera arrondie à 0,001 près, sauf indication contraire.

Une usine produit une eau dont le Ph varie. Si l'on prélève un échantillon de la production, alors son Ph suit une loi normale $N(7,5$ ; $0,36)$.

  1. Que vaut l'écart-type $σ$ associé à cette loi?
  2. On prélève un échantillon au hasard.
    Quelle est la probabilité que son Ph soit entre 6,5 et 9?
  3. Quelle est la probabilité que son Ph soit inférieur à 6,5?
  4. Quelle est la valeur $x$ du Ph ( à 0,1 près ) telle que, pour un échantillon donné, la probabilité que le Ph soit inférieur à $x$ vaille 0,025?
  5. Un filtre permet de diminuer la valeur de l'écart-type $σ$.
    Soit $p$ la probabilité qu'un échantillon ait un Ph compris entre 6,5 et 8,5. On désire que $p$ soit égale à 0,95.
    Déterminer ( à 0,1 près ) la valeur de $σ$ à atteindre pour que cela soit réalisé
Solution...
Corrigé
  1. On a: $σ^2=0,36$, et $σ>0$. Par conséquent: $σ=√{0,36}=0,6$.

  2. Soit X la variable aléatoire donnant le Ph. On cherche: $p(6,5≤X≤9)$.
    A la calculatrice, on obtient: $p(6,5≤X≤9)≈0,946$.

  3. On cherche: $p(X<6,5)$.
    A la calculatrice, on obtient: $p(X<6,5)≈0,048$.

  4. On cherche $x$ tel que $p(X\text"<"x)=0,025$.
    A la calculatrice, on obtient: $x≈6,3$.

    La probabilité de 0,025 est particulière et l'on peut retrouver la valeur de $x$ autrement!
    Pour $X=N(μ;σ)$, par symétrie de la densité par rapport à la droite d'équation $x=μ$, il est clair que: $p(X\text"<"μ-2σ)= p(μ+2σ\text"<"X)={1-p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)}/{2}$.
    Et chacun sait que $p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95$.
    Donc, on obtient, en particulier: $p(X\text"<"μ-2σ)≈{1-0,95}/{2}≈0,025$.
    Or on cherche $x$ tel que $p(X\text"<"x)=0,025$.
    D'où: $μ-2σ≈x$, soit: $7,5-2×0,6≈x$, soit: $6,3≈x$.

  5. On note que 6,5=μ-1, et 8,5=μ+1.
    On cherche donc $σ$ tel que $p(μ-1≤X≤μ+1)≈0,95$.
    Or on sait que $p(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0,95$.
    Par conséquent, on obtient $2σ≈1$.
    Et par là: $σ≈0,5$ est la valeur à atteindre.
Réduire...

Savoir faire
Dans les exercices posés au bac, le fait qu'une variable aléatoire suive une loi exponentielle ou normale est nécessairement indiqué dans l'énoncé.
Par contre, ce n'est pas forcément le cas si la variable aléatoire suit une loi uniforme.
Et c'est quasiment jamais le cas si la variable aléatoire suit une loi binomiale!

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