Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Dérivation

Définition

La droite d'équation $y=ax+b$ admet pour coefficient directeur le nombre $a$.
Soit $x_A≠x_B$; la droite passant par les points A($x_A$;$y_A$) et B($x_B$;$y_B$) admet pour coefficient directeur le nombre ${y_B-y_A}/{x_B-x_A}$.

Le nombre dérivé de la fonction $f$ en un point d'abscisse $x_0$ est le coefficient directeur de la tangente à la courbe $C_f$ en $x_0$. On le note: $f\,'(x_0)$.

Exemple

La droite $t$ passe par A(1;1,5) et B(4;2).
$t$ est la tangente à $\C_f$ en 2.
$f$ admet pour maximum $f(2,25)$.
Déterminer graphiquement $f(2)$, $f\,'(2)$ et $f\,'(2,25)$.

fig2
Solution...
Corrigé

$f(2)≈1,7$ (c'est l'ordonnée du point de $\C_f$ d'abscisse 2).

$f\,'(2)$ est le coefficient directeur de la tangente $t$ à la courbe $C_f$ en 2.
Or $t$ a pour coefficient directeur ${2-1,5}/{4-1}={0,5}/{3}={1}/{6}≈0,17$.
Donc $f\,'(2)={1}/{6}$.

$f\,'(2,25)$ est le coefficient directeur de la tangente $d$ à la courbe $C_f$ en 2,25.
$d$ n'est pas tracée, mais, comme, $f(2,25)$ est le maximum de $f$, il est "clair" que $d$ est parallèle à l'axe des abscisses, et par là: $f\,'(2,25)=0$.
En toute rigueur, il faudrait préciser que:
d'une part $2,25$ est à l'intérieur d'un intervalle sur lequel $f$ est dérivable,
d'autre part $f(2,25)$ est le maximum de $f$ sur cet intervalle.
Par conséquent, $f(2,25)$ est un extremum local de $f$,
Et donc: $f\,'(2,25)=0$.

Réduire...

Propriété

La tangente à $\C_f$ en $x_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.

Exemple

On sait que: $f(3)=4$ et que: $f\,'(3)=5$.
Déterminer une équation de la tangente $t$ à $\C_f$ en 3.

Solution...
Corrigé
Méthode 1

La tangente à $\C_f$ en $x_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=3$, $f(x_0)=4$, $f\,'(x_0)=5$.
D'où l'équation: $y=4+5(x-3)$, soit: $y=4+5x-15$, soit: $y=5x-11$.
Donc finalement, $t$ a pour équation: $y=5x-11$.

Méthode 2

$f\,'(3)=5$, donc $t$ admet une équation du type: $y=5x+b$.
Or, $f(3)=4$, donc on a: $4=5×3+b$, d'où: $4=15+b$, d'où: $-11=b$.
Donc finalement, $t$ a pour équation: $y=5x-11$.

Réduire...

Propriété

Le tableau suivant donne les fonctions de référence, leurs dérivées, et les intervalles sur lesquels sont définies ces dérivées.

Fonctions vues en première
fig1

Fonctions vues en terminale
fig5

Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle I convenable,

alors la dérivée de la fonction $e^u$ est la fonction $u\,'e^u$

alors la dérivée de la fonction $\ln u$ est la fonction ${u\,'}/{u}$

alors la dérivée de la fonction $√{u}$ est la fonction ${u\,'}/{2√{u}}$

alors la dérivée de la fonction $u^n$ (pour $n$ entier relatif non nul) est la fonction $nu\,'u^{n-1}$

alors la dérivée de la fonction $u(ax+b)$ (pour $a$ et $b$ réels) est la fonction $au\,'(ax+b)$.

Opérations

Le tableau ci-contre donne les dérivées d'une somme, d'un produit et d'un quotient de fonctions $u$ et $v$ dérivables sur un même intervalle I (Pour la dérivée du quotient, $v$ est supposée ne pas s'annuler sur I).

Cas particuliers:
Si $k$ une constante, alors la dérivée de $ku$ est $ku\,'$.
La dérivée de ${1}/{v}$ est ${-v\,'}/{v^2}$.

fig3
Exemple

Dériver

  • $f(x)=-{5}/{3}x^2-4x+1$,
  • $g(x)=3+{1}/{2x+1}$
  • $h(x)=(8x+1)√{x}$
  • $k(x)={10-x}/{2x}$

Solution...
Corrigé

Dérivons $f(x)=-{5}/{3}x^2-4x+1$
On pose $k=-{5}/{3}$, $u=x^2$ et $v=-4x+1$.
Donc $u\,'=2x$ et $v\,'=-4$.
Ici $f=ku+v$ et donc $f\,'=ku\,'+v\,'$.
Donc $f\,'(x)=-{5}/{3}2x+(-4)=-{10}/{3}x-4$.


Dérivons $g(x)=3+{1}/{2x+1}$
On pose $v=2x+1$. Donc $v\,'=2$.
Ici $g=3+{1}/{v}$ et donc $g\,'=0+{-v\,'}/{v^2}$.
Donc $g\,'(x)=-{2}/{(2x+1)^2}$.


Dérivons $h(x)=(8x+1)√{x}$
On pose $u=8x+1$ et $v=√{x}$.
Donc $u\,'=8$ et $v\,'={1}/{2√{x}}$.
Ici $h=uv$ et donc $h\,'=u\,'v+uv\,'$.
Donc $h\,'(x)=8√{x}+(8x+1){1}/{2√{x}}=8√{x}+(8x+1)/{2√{x}}$.


Dérivons $k(x)={10-x}/{2x}$
On pose $u=10-x$ et $v=2x$.
Donc $u\,'=-1$ et $v\,'=2$.
Ici $k={u}/{v}$ et donc $k\,'={u\,'v-uv\,'}/{v^2}$.
Donc $k\,'(x)={(-1)2x-(10-x)2}/{(2x)^2}={-2x-20+2x}/{4x^2}={-20}/{4x^2}=-{5}/{x^2}$.

Réduire...
Exemple

Dériver (avec des fonctions vues en terminale)

  • $m(x)=e^{-2x+1}+3\ln (x^2)$
  • $n(x)=2√{x^3}+(-2x+1)^3$
  • $o(x)=(\cos x)^2+\sin x$
  • $p(x)=\cos (3x+5)$
  • $q(x)=x\ln x-x$

Solution...
Corrigé

Dérivons $m(x)=e^{-2x+1}+3\ln (x^2)$
On pose $u=-2x+1$. Donc $u\,'=-2$.
De même $w=x^2$. Donc $w\,'=2x$.
Ici $m=e^u+3\ln w$ et donc $m\,'=u\,'e^u+3{w\,'}/{w}$.
Donc $m\,'(x)=(-2)×e^{-2x+1}+3{2x}/{x^2}=-2e^{-2x+1}+{6}/{x}$.


Dérivons $n(x)=2√{x^3}+(-2x+1)^3$
On pose $u=x^3$. Donc $u\,'=3x^2$.
De même $w=-2x+1$. Donc $w\,'=-2$.
Ici $n=2√{u}+w^3$ et donc $n\,'=2{u\,'}/{2√{u}}+3w\,'w^2$.
Donc $n\,'(x)=2 ×{3x^2}/{2√{x^3}}+3 ×(-2) ×(-2x+1)^2={3x^2}/{√{x^3}}-6(-2x+1)^2$.


Dérivons $o(x)=(\cos x)^2+\sin x$
On pose $u=\cos x$. Donc $u\,'=-\sin x$.
ici $o= u^2+\sin x$. Donc $o\,'=2u\,'u+\cos x$.
Donc $o\,'(x)=2×(-\sin x)×\cos x+\cos x=(1-2\sin x)\cos x$.


Dérivons $p(x)=\cos (3x+5)$
On pose $u(y)=\cos y$. Donc $u\,'(y)=-\sin y$.
ici $p(x)= u(3x+5)$. Donc $p\,'(x)=3×u\,'(3x+5)$.
Donc $p\,'(x)=3×(-\sin(3x+5))=-3\sin(3x+5)$.

Dérivons $q(x)=x\ln x-x$
On pose $u=x$. Donc $u\,'=1$.
De même $v=\ln x$. Donc $v\,'={1}/{x}$.
Ici $q=uv-x$ et donc $q\,'=u\,'v+uv\,'-1$.
Donc $q\,'(x)=1×\ln x+x×{1}/{x}-1=\ln x+1-1=\ln x$.

Réduire...

Sens de variation

Soit I un intervalle.
$f\,'=0$ sur I si et seulement si $f$ est constante sur I.
$f\,'≥0$ sur I si et seulement si $f$ est croissante sur I.
$f\,'>0$ presque partout sur I si et seulement si $f$ est strictement croissante sur I.
$f\,'≤0$ sur I si et seulement si $f$ est décroissante sur I.
$f\,'<0$ presque partout sur I si et seulement si $f$ est strictement décroissante sur I.

Exemple

$f(x)=x^3+x^2-5x+3$ sur $\R$. Déterminer le sens de variation de $f$ sur $\R$.

Solution...
Corrigé

Il suffit de calculer $f\,'(x)$, de trouver son signe, et d'en déduire le sens de variation de $f$.
$f\,'(x)=3x^2+2x-5$.
$f\,'$ est un trinôme avec $a=3$, $b=2$ et $c=-5$.
$Δ=b^2-4ac=2^2-4×3×(-5)=64$.
$Δ>0$. Le trinôme a 2 racines $x_1={-b-√Δ}/{2a}={-2-8}/{6}=-{5}/{3}$ et $x_2={-b+√Δ}/{2a}={-2+8}/{6}=1$.
$a>0$. D'où le tableau suivant:

fig4
Réduire...

Savoir faire
A quoi peut servir la dérivée d'une fonction?
La valeur de la dérivée en un point permet d'y déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe de la fonction en ce point.
Le signe de la dérivé permet de déterminer le sens de variation de la fonction.
Dériver une fonction permet de vérifier qu'elle est bien une primitive d'une autre fonction (voir cours sur les primitives).

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