Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Géométrie dans l'espace

Propriété

Deux droites de l'espace sont:
soit coplanaires (dans un même plan), soit non coplanaires.

Deux droites coplanaires sont;
soit parallèles , soit sécantes .

Deux droites parallèles sont:
soit strictement parallèles, soit confondues .

Exemple

ABCDEFGH est un cube.
$d_1=(DH)$     $d_2=(CG)$      $d_3=(DG)$     $d_4=(AB)$

Les droites $d_4$ et $d_3$ ne sont pas coplanaires.
Les droites $d_3$ et $d_2$ sont coplanaires et sécantes en G.
Les droites $d_1$ et $d_2$ sont coplanaires et strictement parallèles.
Les droites $d_1$ et $(DH)$ sont coplanaires et confondues.

fig1

Propriété

Une droite et un plan de l'espace sont:
soit sécants selon un point, soit parallèles .

Une droite et un plan parallèles sont:
soit strictement parallèles, soit tels que la droite est dans le plan.

Exemple

Dans la figure du premier exemple:
Le plan $(AEH)$ et la droite $d_3$ sont sécants au point D.
Le plan $(AEH)$ et la droite $d_2$ sont strictement parallèles.
Le plan $(AEH)$ et la droite $d_1$ sont parallèles et $d_1$ est dans le plan $(AEH)$.


Propriété

Deux plans de l'espace sont:
soit sécants selon une droite, soit parallèles .

Deux plans parallèles sont:
soit strictement parallèles, soit confondus .

Exemple

Reprenons la figure du premier exemple:
Les plans $(AEH)$ et $(BFD)$ sont sécants selon la droite $(DH)$.
Les plans $(AEH)$ et $(BCG)$ sont strictement parallèles.
Les plans $(AEH)$ et $(DAH)$ sont parallèles et confondus.

fig12
Exemple

ABCD est un tétraèdre non aplati représenté ci-dessous en perspective cavalière.
X est le milieu de l'arête [AB], Y est sur l'arête [BC], mais n'est pas le milieu de [BC], Z est le mileu de l'arête [AD].
fig2
Il est clair que les points X et Z sont dans le plan (ABD).
Nous allons déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (XYZ).

  1. Les droites (XY) et (AC) sont-elles coplanaires?
  2. a. Les droites (XY) et (AC) sont sécantes. Pourquoi?
    b. Pourquoi leur point d'intersection M appartient-il à la fois au plan (XYZ) et au plan (ACD)?
    c. Quel autre point appartient à la fois au plan (XYZ) et au plan (ACD)?
  3. a. Montrer que le point X ne peut appartenir au plan (ACD) (raisonner par l'absurde).
    b. Pourquoi les plans (XYZ) et (ACD) sont-ils sécants?
    c. Tracer la droite intersection de (XYZ) et (ACD).
  4. Construire la section du tétraèdre par le plan (XYZ) (On ne demande pas de justification, mais il faudra laisser les traits de construction.
    La section sera repassée en rouge)
Solution...
Corrigé
  1. X est sur [AB], donc X est dans le plan (ABC).
    Y est sur [BC], donc Y est dans le plan (ABC).
    Et comme X et Y sont dans le plan (ABC), la droite (XY) est dans le plan (ABC).
    Par ailleurs, il est évident que la droite (AC) est dans le plan (ABC).
    Finalement, (XY) et (AC) sont coplanaires (dans le plan (ABC)).

  2. a. Considérons le triangle ABC, dont X est le milieu du côté [AB].
    Si (XY) et (AC) étaient parallèles, alors Y serait le milieu de [BC], ce qui contraire à l'hypothèse.
    Donc les droites coplanaires (XY) et (AC) ne peuvent qu'être sécantes.

    b. Le point M est sur la droite (XY), donc il est dans le plan (XYZ).
    Le point M est sur la droite (AC), donc il est dans le plan (ACD).
    Finalement, M appartient à la fois au plan (XYZ) et au plan (ACD).

    c. Le point Z est évidemment dans (XYZ).
    Et comme il est sur [AD], il est dans (ACD).
    Z appartient donc à la fois au plan (XYZ) et au plan (ACD).

  3. a. Si X appartenait au plan (ACD), alors, comme A est dans (ACD), la droite (AX) y serait aussi, et par là, le point B serait dans le plan (ADC).
    Le tétraèdre ABCD ne serait plus aplati, ce qui est contraire à l'hypothèse.
    Donc, finalement, X ne peut appartenir au plan (ACD).

    b. Z est dans (XYZ). Or, Z étant sur [AC], Z est dans (ACD).
    Donc les plans (XYZ) et (ACD) ont au moins un point commun.
    Par conséquent, ils sont soit confondus, soit sécants.
    Or, ils ne peuvent être confondus car X appartient à (XYZ) mais n'appartient pas à (ACD).
    Donc ils sont sécants.

    c. M et Z sont à la fois dans les plans (XYZ) et (ACD), donc ces plans se coupent selon la droite (ZM).
  4. La section est XYHZ.
    fig3
Réduire...

Théorème du toit

Si les droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles,
si le plan $P_1$ contient la droite $d_1$,
si le plan $P_2$ contient la droite $d_2$,
si les plans $P_1$ et $P_2$ se coupent selon la droite $d_3$,
alors $d_3$ est parallèle à $d_1$ et à $d_2$.

fig4

Propriété

Si les plans $P_1$ et $P_2$ sont parallèles,
alors tout plan $P_3$ qui coupe $P_1$ coupe aussi $P_2$
et les droites d'intersection $d_1$ et $d_2$ sont parallèles.

fig5

Propriété

Si 2 droites sécantes d'un plan $P_1$ sont respectivement parallèles
à 2 droites sécantes d'un plan $P_2$,
alors les plans $P_1$ et $P_2$ sont parallèles.

fig6

Propriété

Si 2 droites $d_1$ et $d_2$ sont parallèles,
alors la droite $d_1$ est parallèle
à tout plan $P_2$ contenant la droite $d_2$

fig7
Exemple

Reprenons l'exemple précédent et déterminer la section du tétraèdre ABCD par le plan (XYZ) par une autre méthode.
fig2

  1. Dans le plan (ABD), les droites (XZ) et (BD) sont parallèles. Pourquoi?
  2. Les plans (XYZ) et (BCD) se coupent selon une droite $d$ dont on connait un point. Lequel? (inutile de justifier)
  3. Démontrer que les droites $d$, (BD) et (XZ) sont parallèles.
  4. Soit H l'intersection de $d$ et de la droite (CD) sur le dessin.
    Construire le point H sur la figure , puis repasser en rouge la section cherchée. (inutile de justifier)
Solution...
Corrigé
  1. On se place dans le plan (ABD).
    X est le milieu de l'arête [AB], Z est le mileu de l'arête [AD], donc, d'après le théorème des milieux (qui est un cas particulier de la réciproque du théorème de Thalès), les droites (XZ) et (BD) sont parallèles (et de plus, $XZ={1}/{2} BD$).
  2. Les plans (XYZ) et (BCD) se coupent selon une droite $d$ dont on connait un point: c'est Y.
  3. La droite (XZ) est dans le plan (XYZ),
    la droite (BD) est dans le plan (BCD),
    les droites (XZ) et (BD) sont parallèles,
    donc, finalement, d'après le théorème du toit, les plans (XYZ) et (BCD) se coupent selon une droite $d$ qui est parallèle à (XZ) et à (BD).
    On a donc bien montré que les droites $d$, (BD) et (XZ) sont parallèles.
  4. fig8
Réduire...

Savoir faire
Comment déterminer la droite selon laquelle 2 plans se coupent?
Il suffit:
soit d'en déterminer 2 points (chacun d'eux étant à l'intersection de 2 droites coplanaires de chacun des plans)
soit d'en déterminer un point et d'en avoir la direction (par application du théorème du toit par exemple).
Relisez les 2 exemples précédents...


Définition

Deux droites $d_1$ et $d_2$ de l'espace sont orthogonales
lorsqu'il existe une droite $d_3$ parallèle à $d_1$ et perpendiculaire à $d_2$.

fig9

Propriété

Si $d_1$ est parallèle à $d_2$, alors toute droite orthogonale à $d_1$ est orthogonale à $d_2$.
Si $d_1$ est orthogonale à $d_2$, alors toute droite parallèle à $d_1$ est orthogonale à $d_2$.
Attention, si $d_1$ et $d_2$ sont orthogonales à $d_3$, alors $d_1$ n'est pas forcément parallèle à $d_2$!

Exemple et contre-exemple

Reprenons la figure du premier exemple:
fig13
$(AB)$ est parallèle à $(EF)$ (côtés opposés d'une face carrée du cube).
Or $(AD)$ est orthogonale à $(AB)$ (côtés successifs d'une face carrée du cube).
Donc $(AD)$ est orthogonale à $(EF)$.

Mais attention!
$(AD)$ est orthogonale à $(EF)$.
$(BF)$ est orthogonale à $(EF)$.
et pourtant, $(AD)$ et $(BF)$ ne sont pas parallèles.


Définition

Une droite $d$ est orthogonale à un plan $P$
si et seulement si $d$ est orthogonale à 2 droites sécantes du plan $P$.

Exemple

Dans la figure du premier exemple:
$(BF)$ et $(BC)$ sont 2 droites sécantes du plan $(BFC)$
Or, elles sont orthogonales à $(AB)$
Donc la droite $(AB)$ est orthogonale au plan $(BFC)$.

Propriété

Une droite $d_1$ et un plan $P$ sont orthogonaux,
si et seulement si $d_1$ est orthogonale à toute droite $d_2$ contenue dans le plan $P$.

Exemple

Dans la figure du premier exemple:
La droite $(AB)$ est orthogonale au plan $(BFC)$.
Or la droite $(FC)$ est dans le plan $(BFC)$.
Donc la droite $(AB)$ est orthogonale à la droite $(FC)$.

Exemple

fig10

Le cube ABCDEFGH est représenté ci-dessus.

  1. Montrer que les droites (AG) et (EB) sont orthogonales.
  2. Montrer que les droites (AG) et (DB) sont orthogonales.
  3. Montrer que la droite (AG) est orthogonale au plan (EDB).
Solution...
Corrigé
  1. (AF) est orthogonale à (EB) (diagonales d'une face carrée du cube).
    (FG), arête du cube, est orthogonale à la face ABFE, et donc , en particulier, à la droite (EB).
    (AF) et (FG) sont donc 2 droites sécantes du plan (AFG) orthogonales à (EB), et par là, la droite (EB) est orthogonale au plan (AFG), et, en particulier, à la droite (AG) de ce plan.
    fig11
  2. Comme ci-dessus, mais avec le triangle ACG, on montre que:
    (AC) et (CG) sont donc 2 droites sécantes du plan (ACG) orthogonales à (DB), et par là, la droite (DB) est orthogonale au plan (ACG), et, en particulier, à la droite (AG) de ce plan.
  3. Finalement, la droite (AG) est orthogonale à 2 droites sécantes (EB) et (DB) du plan (EDB).
    Elle est donc orthogonale au plan (EBD).
Réduire...

Propriété

Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l'une est orthogonal à l'autre.
Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.
Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.

Définitions et propriétés

Pour obtenir le projeté orthogonal H d'un point M sur un plan P, on considère la droite $d$ passant par M et orthogonale à P. Cette droite $d$ coupe P en H.

Pour obtenir le projeté orthogonal H d'un point M sur une droite $d$, on considère le plan P contenant M et orthogonal à $d$. Ce plan P coupe $d$ en H.

Exemple

Reprenons la figure du premier exemple:
fig13
Le point C est le projeté orthogonal du point B sur le plan (DHG).
Le point C est le projeté orthogonal du point B sur la droite (HC).

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