Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Fonction exponentielle

Définition et propriété

Il existe une unique fonction $f$ dérivable sur $\R$ telle que $f\,'=f$ et $f(0)=1$.
C'est la fonction exponentielle. Elle est notée exp.
Le nombre $e$ est l'image de 1 par la fonction exponentielle.
Ainsi $\exp(1)=e$.
A retenir: $e≈2,72$.

Définition et propriété

Pour tout $p$ rationnel, on a $\exp(p)=e^p$.
Par extension, on convient de noter:
pour tout $x$ réel, $\exp(x)=e^x$.
Ainsi exp(0)$=e^0=1$.    exp(1)$=e^1=e$.

Dérivées

La fonction $e^x$ admet pour dérivée $e^x$ sur $\R$. Ainsi: $(e^x)'=e^x$

Si $u$ une fonction dérivable sur un intervalle I, alors $(e^u)'=u'e^u$.

Exemple

Dériver chacune des deux fonctions suivantes: $f(x)=3e^x+7x^3+2$.    $g(x)=0,5e^{x^2-4}$.

Solution...
Corrigé

Dérivons $f$.
$f\,'(x)=3e^x+7×3x^2+0=3e^x+21x^2$.

Dérivons $g$.
On pose $u=x^2-4$. Donc $u'=2x-0=2x$.
Ici $g=0,5e^u$ et donc $g'=0,5u'e^u$.
Donc $g'(x)=0,5×2x×e^{x^2-4}=xe^{x^2-4}$.

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Propriétés

La fonction $e^x$ est continue sur $\R$ (voir chapitre sur la continuité).
La fonction $e^x$ est strictement positive.
La fonction $e^x$ est strictement croissante.

fig2
Exemple

Soit $\C$ la courbe représentative de $e^x$.
Déterminer une équation de $d_0$, tangente à $C$ en 0.
Déterminer une équation de $d_1$, tangente à $C$ en 1.

Solution...
Corrigé

Posons $f(x)=e^x$.    On a donc: $f\,'(x)=e^x$.
$d_0$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=0$, $f(x_0)=e^0=1$, $f\,'(x_0)=e^0=1$.
D'où l'équation: $y=1+1(x-0)$, soit: $y=1+x$, soit: $y=x+1$.
Donc finalement, $d_0$ a pour équation: $y=x+1$ (elle est tracée en rouge sur le dessin de la propriété précédente).

$d_1$ a pour équation $y=f(x_0)+f\,'(x_0)(x-x_0)$.
ici: $x_0=1$, $f(x_1)=e^1=e$, $f\,'(x_1)=e^1=e$.
D'où l'équation: $y=e+e(x-1)$, soit: $y=e+ex-e$, soit: $y=ex$.
Donc finalement, $d_1$ a pour équation: $y=ex$ (elle est tracée en vert sur le dessin de la propriété précédente).

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Exemple

Quel est le sens de variation de la fonction $f(x)=5e^{2x}+x^3$ sur $\R$?

Solution...
Corrigé

Dérivons $f$.
On pose $u=2x$. Donc $u'=2$.
Ici $f=5e^u+x^3$ et donc $f\,'=5u'e^u+3x^2$.
Donc $f\,'(x)=5×2×e^{2x}+3x^2=10e^{2x}+3x^2$.
Or, une exponentielle est strictement positive. De plus, un carré est positif. Et enfin, les coefficients 10 et 3 sont strictement positifs.
Par conséquent, $f\,'(x)$ est strictement positif pout tout $x$ réel, et par là, $f$ est strictement croissante sur $\R$.

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Propriétés

Pour tous nombres réels $a$ et $b$, $e^{a+b}=e^a×e^b$    ${e^a}/{e^b}=e^{a-b}$

Pour tout nombre réel $a$ et entier relatif $b$, $(e^a)^b=e^{ab}$

Exemple

Calculer $s=e^0+e^{0,1}e^{0,9}-3{e^{7,2}}/{e^{6,2}}$ (donner la valeur exacte de $s$, puis une valeur approchée arrondie à 0,1 près)

Solution...
Corrigé
$s=1+e^{0,1+0,9}-3e^{7,2-6,2}=1+e^1-3e^1=1-2e^1=1-2e≈-4,4$
Remarque:
$e$ s'obtient à la calculatrice en tapant: 2nde ln 1 (pour une TI), ou: SHIFT ln 1 (pour une casio).
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Propriétés

Pour tous nombres réels $a$ et $b$,    $e^a\text"<"e^b ⇔ a\text"<"b$     et    $e^a=e^b⇔a=b$

Exemple

  1. Résoudre l'équation $e^{x-2}-1=0$.
  2. Résoudre l'inéquation $e^{-5x+3}-e≤0$.

Solution...
Corrigé
  1. Appelons (1) l'équation à résoudre.
    $\D_E=\R$.
    (1) $⇔$ $e^{x-2}-1=0⇔e^{x-2}=1⇔e^{x-2}=e^0⇔x-2=0⇔x=2$.
    Donc $\S_1=\{2\}$.
  2. Appelons (2) l'inéquation à résoudre.
    $\D_E=\R$.
    (2) $⇔$ $e^{-5x+3}-e≤0$ $⇔$ $e^{-5x+3}≤e$ $⇔$ $e^{-5x+3}≤e^1$ $⇔$ $-5x+3≤1$
    Soit: (2) $⇔$ $-5x≤1-3$ $⇔$ $x≥{-2}/{-5}$ $⇔$ $x≥0,4$.
    Donc $\S_2=[0,4;+∞[$.
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Savoir faire
Le signe d'une expression contenant une exponentielle est souvent évident car une exponentielle est strictement positive.
Quand le signe n'est pas évident, il faut résoudre une inéquation pour savoir quand l'expression est positive (ou négative).

Exemple

  1. Etudier le signe de $e^{-x-2}+3$.
  2. Montrer que $e^{-5x+3}(x-2)$>$0$ sur $]2; +∞[$.
  3. Etudier le signe de $e^{-x}-1$>$0$.

Solution...
Corrigé

  1. $e^{-x-2}$>$0$ car une exponentielle est strictement positive.
    Donc: $e^{-x-2}+3$>$3$, et par là, $e^{-x-2}+3$ est strictement positive pour tout $x$.
  2. $e^{-5x+3}$>$0$ car une exponentielle est strictement positive.
    Donc le produit $e^{-5x+3}(x-2)$ est du signe de la fonction affine $x-2$.
    Or cette dernière s'annule en 2, et son coefficient directeur 1 est strictement positif.
    Donc $x-2$>$0$ pour $x$>$2$.
    Et par là: $e^{-5x+3}(x-2)$>$0$ sur $]2; +∞[$.
  3. Cette fois-ci, la positivité de l'exponentielle ne sert à rien, car on lui ôte 1.
    Nous allons chercher pour quelles valeurs de $x$ l'expression est positive.

    On a: $e^{-x}-1$>$0$ $⇔$ $e^{-x}$>$1$ $⇔$ $e^{-x}$>$e^0$ $⇔$ $-x$>$0$ $⇔$ $x$<$0$.
    Donc $e^{-x}-1$>$0$ sur $]-∞;0[$.
    Il est alors évident que $e^{-x}-1$<$0$ sur $]0;+∞[$,
    et que $e^{-x}-1=0$ pour $x=0$.

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Remarque: les définitions des "limites" données ci-dessous sont explicitées dans le cours sur les "limites de fonctions".

Limites de référence

$\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$   $\lim↙{x→-∞}e^x=0$    $\lim↙{x→+∞}{e^x}/{x}=+∞$   $\lim↙{x→-∞}xe^x=0$    $\lim↙{x→0}{e^x-1}/{x}=1$

Exemple

Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$ dans chacun des cas suivants:

  1. $f(x)=-5e^x-4x^2+10$.
  2. $f(x)={2e^x-1}/{e^x+3}$.
  3. $f(x)={2e^x}/{3x}+7x$.
  4. $f(x)=0,5e^x-x$

Solution...
Corrigé
  1. $f(x)=-5e^x-4x^2+10$.
    On a: $\lim↙{x→+∞}-5e^x=-∞$ et $\lim↙{x→+∞}-4x^2=-∞$ et $\lim↙{x→+∞}10=10$.
    Donc: $\lim↙{x→+∞}f(x)=-∞$ (limite d'une somme).

  2. $f(x)={2e^x-1}/{e^x+3}$.
    On montre facilement que $\lim↙{x→+∞}2e^x-1=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}e^x+3=+∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors les termes "dominants" du quotient $f(x)$ et on simplifie.

    $f(x)={e^x(2-{1}/{e^x})}/{e^x(1+{3}/{e^x})}={2-{1}/{e^x}}/{1+{3}/{e^x}}$.
    Et comme $\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$, on obtient: $\lim↙{x→+∞}{2-{1}/{e^x}}/{1+{3}/{e^x}}={2-0}/{1+0}=2$.
    Soit: $\lim↙{x→+∞}f(x)=2$

  3. $f(x)={2e^x}/{3x}+7x={2}/{3}{e^x}/{x}+7x$.
    Or, comme $\lim↙{x→+∞}{e^x}/{x}=+∞$ et que ${2}/{3}\text">"0$, on a: $\lim↙{x→+∞}{2}/{3}{e^x}/{x}=+∞$.
    De même, comme $\lim↙{x→+∞}x=+∞$ et que $7\text">"0$, on a: $\lim↙{x→+∞}7x=+∞$.
    Et par là: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$ (limite d'une somme).

  4. $f(x)=0,5e^x-x$.
    On montre facilement que $\lim↙{x→+∞}0,5e^x=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors le terme "dominant" de la somme $f(x)$.

    $f(x)=e^x(0,5-{x}/{e^x})$.
    Comme $\lim↙{x→+∞}{e^x}/{x}=+∞$, on a: $\lim↙{x→+∞}{x}/{e^x}=0$.
    Donc $\lim↙{x→+∞}0,5-{x}/{e^x}=0,5-0=0,5$.
    Et comme $\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$, on obtient: $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$.
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