Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Limites de fonctions

Limite infinie en $+∞$ ou en $-∞$

La fonction $f$ a pour limite $+∞$ en $+∞$ lorsque tout intervalle du type $]A;+∞[$ (où $A$ est un réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez "grand".
On note $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$.

fig1

La fonction $f$ a pour limite $-∞$ en $+∞$ lorsque tout intervalle du type $]-∞;A[$ (où $A$ est un réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez "grand".
On note $\lim↙{x→+∞}f(x)=-∞$.

La fonction $f$ a pour limite $+∞$ en $-∞$ lorsque tout intervalle du type $]A;+∞[$ (où $A$ est un réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez "négatif".
On note $\lim↙{x→-∞}f(x)=+∞$.

La fonction $f$ a pour limite $-∞$ en $-∞$ lorsque tout intervalle du type $]-∞;A[$ (où $A$ est un réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez "négatif".
On note $\lim↙{x→-∞}f(x)=-∞$.

Limites de référence

$\lim↙{x→+∞}x=+∞$   $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$   $\lim↙{x→+∞}x^n=+∞$ (pour $n∈\ℕ$ et $n\text">"0$)   $\lim↙{x→+∞}√{x}=+∞$

$\lim↙{x→-∞}x=-∞$   $\lim↙{x→-∞}x^2=+∞$   $\lim↙{x→-∞}x^3=-∞$

Fonctions vues en terminale
$\lim↙{x→+∞}e^x=+∞$    $\lim↙{x→+∞}{e^x}/{x}=+∞$       $\lim↙{x→+∞}\ln x=+∞$

fig3

Limite finie en $+∞$ ou en $-∞$

La fonction $f$ a pour limite $l$ en $+∞$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez "grand".
On note $\lim↙{x→+∞}f(x)=l$.

On dit que, dans un repère, la droite $d$ d'équation $y=l$ est asymptote horizontale en $+∞$ à la courbe représentative $\C$ de $f$.

fig2

La fonction $f$ a pour limite $l$ en $-∞$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs $f(x)$ pour $x$ assez "négatif".
On note $\lim↙{x→-∞}f(x)=l$.

On dit que, dans un repère, la droite $d$ d'équation $y=l$ est asymptote horizontale en $-∞$ à la courbe représentative $\C$ de $f$.

Unicité

La limite d'une fonction est unique.

Fonction constante

Soit $l$ un nombre réel; si $f(x)=l$, alors $\lim↙{x→+∞}f(x)=\lim↙{x→-∞}f(x)=l$.

Limites de référence

$\lim↙{x→+∞}{1}/{x}=\lim↙{x→-∞}{1}/{x}=0$            $\lim↙{x→+∞}{1}/{x^2}=\lim↙{x→-∞}{1}/{x^2}=0$

$\lim↙{x→+∞}{1}/{x^n}=\lim↙{x→-∞}{1}/{x^n}=0$ (pour $n∈\ℕ$ et $n\text">"0$)            $\lim↙{x→+∞}{1}/{\√{x}}=0$

Fonctions vues en terminale
$\lim↙{x→-∞}e^x=0$   $\lim↙{x→-∞}xe^x=0$   $\lim↙{x→+∞}{\ln x}/{x}=0$

fig3

Limite infinie en un nombre réel $a$

La fonction $f$ a pour limite $+∞$ en $a$ lorsque tout intervalle du type $]A;+∞[$ (où $A$ est un réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez "proche" de $a$.
On note $\lim↙{x→a}f(x)=+∞$.

fig4
fig5

La fonction $f$ a pour limite $+∞$ à droite en $a$ lorsque tout intervalle du type $]A;+∞[$ (où $A$ est un réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez "proche" de $a$ tout en restant supérieur à $a$.
On note $\lim↙{{}^{x→a}_{x\text">"a}}f(x)=+∞$.

La fonction $f$ a pour limite $+∞$ à gauche en $a$ lorsque tout intervalle du type $]A;+∞[$ (où $A$ est un réel) contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez "proche" de $a$ en restant inférieur à $a$.
On note $\lim↙{{}^{x→a}_{x\text"<"a}}f(x)=+∞$.

fig6

On définit de façon analogue une limite $-∞$ en $a$, à droite en $a$, ou à gauche en $a$.

Dans tous les cas précédents, on dit que, dans un repère, la droite $d$ d'équation $x=l$ est asymptote verticale en $a$ à la courbe représentative $\C$ de $f$.

Limites de référence

$\lim↙{{}^{x→0}_{x\text">"0}}{1}/{x}=+∞$            $\lim↙{{}^{x→0}_{x\text"<"0}}{1}/{x}=-∞$             $\lim↙{x→0}{1}/{x^2}=+∞$

Fonction vue en terminale
$\lim↙{x→0}\ln x=-∞$

fig7
Exemple

Conjecturer la valeur de chacune des limites suivantes
$\lim↙{x→+∞}f(x)$
$\lim↙{x→-∞}f(x)$
$\lim↙{{}^{x→0}_{x\text"<"0}}f(x)$
$\lim↙{{}^{x→0}_{x\text">"0}}f(x)$
$\lim↙{x→2}f(x)$
Donner, s'il y a lieu, l'équation réduite de l'asymptote associée.

fig8
Solution...
Corrigé
$\lim↙{x→+∞}f(x)=4$, donc la droite d'équation $y=4$ est asymptote horizontale en $+∞$ à $\C_f$.
$\lim↙{x→-∞}f(x)=-∞$
$\lim↙{{}^{x→0}_{x\text"<"0}}f(x)=-∞$<, donc la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à $\C_f$.
$\lim↙{{}^{x→0}_{x\text">"0}}f(x)=+∞$, donc la droite d'équation $x=0$ est asymptote verticale à $\C_f$.
$\lim↙{x→2}f(x)=+∞$, donc la droite d'équation $x=2$ est asymptote verticale à $\C_f$.
Réduire...

Limite finie en un nombre réel $a$

La fonction $f$ a pour limite $l$ en $a$ lorsque tout intervalle ouvert contenant $l$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez "proche" de $a$.
On note $\lim↙{x→a}f(x)=l$.

Cette définition permet de définir d'une part la continuité,
d'autre part le nombre dérivé: $f\,'(a)=\lim↙{x→a}{f(x)-f(a)}/{x-a}=\lim↙{h→0}{f(a+h)-f(a)}/{h}$

Limites de référence

Elles s'obtiennent en appliquant la définition du nombre dérivé ci-dessus
(dérivée en 0 des fonctions $e^x$, $\ln(1+x)$ et $\sin x$).

Fonctions vue en terminale
$\lim↙{x→0}{e^x-1}/{x}=1$            $\lim↙{x→0}{\ln (1+x)}/{x}=1$             $\lim↙{x→0}{\sin x}/{x}=1$


Opérations

La détermination de la limite d'une somme, d'un produit ou d'un quotient de 2 fonctions est intuitive, et vérifie les tableaux ci-dessous.
Dans ces tableaux, $a$ représente soit $+∞$, soit $-∞$, soit un nombre réel fixé.
Retenir essentiellement les formes indéterminées (notées FI), à traiter cas par cas (voir exemples).
Les méthodes utilisées pour déterminer les limites de suites se transposent aisément aux fonctions.
fig9

Savoir faire
En cas de forme indéterminée dans une recherche de limite, il est souvent opportun de factoriser le terme dominant (même si la factorisation est artificielle) (voir les exemples qui suivent).

Exemples
  1. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=(9x^2-x+1)√{x}$ pour tout réel $x$.
    Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
  2. Soit $g$ la fonction définie par $g(x)={-x^3+x^2}/{x-4}$ pour tout réel $x$ différent de $4$.
    Déterminer $\lim↙{x→-∞}g(x)$.
  3. Soit $h$ la fonction définie par $h(x)={9}/{x^2}-{1}/{x}$ pour tout réel $x$ non nul.
    Déterminer $\lim↙{{}^{x→0}_{x\text"<"0}}h(x)$.
Solution...
Corrigé
  1. On obtient facilement $\lim↙{x→+∞}9x^2=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}-x=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors le terme "dominant" de la somme $9x^2-x+1$
    .
    $9x^2-x+1=x^2(9-{1}/{x}+{1}/{x^2})$.
    Or $\lim↙{x→+∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}9-{1}/{x}+{1}/{x^2}=9-0+0=9$.
    Donc $\lim↙{x→+∞}x^2(9-{1}/{x}+{1}/{x^2})=+∞$, soit $\lim↙{x→+∞}9x^2-x+1=+∞$.
    Par ailleurs, on sait que $\lim↙{x→+∞}√{x}=+∞$.
    On obtient donc finalement $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$ (limite d'un produit).

  2. On obtient facilement $\lim↙{x→-∞}-x^3+x^2=+∞$ et $\lim↙{x→-∞}x-4=-∞$, ce qui conduit à une forme indéterminée.
    On factorise alors les termes "dominants" du quotient $g(x)$ et on simplifie.

    $g(x)={x^3(-1+{1}/{x})}/{x^{}(1-4{}1/{x})}=x^2{-1+{1}/{x}}/{1-4{1}/{x}}$.
    Or $\lim↙{x→-∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→-∞}{-1+{1}/{x}}/{1-4{1}/{x}}={-1+0}/{1-4×0}=-1$.
    Donc, comme $-1\text"<"0$, on obtient finalement $\lim↙{x→-∞}g(x)=-∞$ (limite d'un produit).

  3. On fait apparaitre des fonctions dont on connait les limites..
    $h(x)=9{1}/{x^2}-{1}/{x}$.
    Or $\lim↙{{}^{x→0}_{x\text"<"0}}{1}/{x^2}=\lim↙{x→0}{1}/{x^2}=+∞$.
    Et comme 9>0, on obtient $\lim↙{{}^{x→0}_{x\text"<"0}}9{1}/{x^2}=+∞$.
    Par ailleurs, $\lim↙{{}^{x→0}_{x\text"<"0}}{1}/{x}=-∞$, et donc $\lim↙{{}^{x→0}_{x\text"<"0}}-{1}/{x}=+∞$.
    Donc finalement $\lim↙{{}^{x→0}_{x\text"<"0}}h(x)=+∞$ (limite d'une somme).
Réduire...

Composée

$a$, $b$ et $c$ désignent $+∞$, ou $-∞$, ou un nombre réel $a$.
Si $\lim↙{x→a}f(x)=b$   et   si $\lim↙{y→b}g(y)=c$,   alors    $\lim↙{x→a}g(f(x))=c$

Exemples

Soit $h$ la fonction définie par $h(x)=√{x^2+{1}/{x^2}}$ pour tout réel $x$ non nul.
Déterminer $\lim↙{x→-∞}h(x)$.

Soit $m$ la fonction définie par $m(x)=e^{-3x+1}$ pour tout réel $x$.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}m(x)$.

Solution...
Corrigé

On a $h(x)=g(f(x))$ avec $f(x)=x^2+{1}/{x^2}$, et $g(y)=√{y}$.
Or, comme $\lim↙{x→-∞}x^2=+∞$ et $\lim↙{x→-∞}{1}/{x^2}=0$, on a $\lim↙{x→-∞}f(x)=+∞$.
De plus, $\lim↙{y→+∞}g(y)=+∞$.
Donc on obtient: $\lim↙{x→-∞}h(x)=+∞$.

$m(x)=e^{-3x+1}$
On a: $\lim↙{x→+∞}-3x+1=-∞$.
Or: $\lim↙{y→-∞}e^y=0$.
Donc: $\lim↙{x→+∞}m(x)=0$.

Réduire...

Théorème de comparaison

Si $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$   et    si, pour $x$ assez grand, $g(x)≥f(x)$,
alors $\lim↙{x→+∞}g(x)=+∞$.

Si $\lim↙{x→+∞}f(x)=-∞$   et    si, pour $x$ assez grand, $g(x)≤f(x)$,
alors $\lim↙{x→+∞}g(x)=-∞$.

Ces deux propriétés s'étendent facilement pour des limites en $-∞$ ou en un réel $a$.

Théorème des gendarmes

Si $\lim↙{x→+∞}f(x)=l$   et    si $\lim↙{x→+∞}h(x)=l$   et    si, pour $x$ assez grand, $f(x)≤g(x)≤h(x)$,
alors $\lim↙{x→+∞}g(x)=l$.

Cette propriété s'étend facilement pour des limites en $-∞$ ou en un réel $a$.

Exemples
  1. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=x^3-\cos x$ pour tout réel $x$.
    Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$.
  2. Soit $f$ la fonction définie par $f(x)=e^{x}\sin x$ pour tout réel $x$.
    Déterminer $\lim↙{x→-∞}f(x)$.
Solution...
Corrigé
  1. Pour tout réel $x$, on a: $-1≤\cos x≤1$, et par là: $-1+x^3≤\cos x+x^3≤1+x^3$.
    En particulier: pour tout réel $x$, $-1+x^3≤f(x)$.
    Or, comme $\lim↙{x→+∞}x^3=+∞$ et $\lim↙{x→+∞}-1=-1$, on obtient: $\lim↙{x→+∞}-1+x^3=+∞$.
    Donc, par comparaison, on obtient $\lim↙{x→+∞}f(x)=+∞$.

  2. Pour tout réel $x$, on a: $-1≤\sin x≤1$.
    Et par là: $-1×e^{x}≤\sin x×e^{x}≤1×e^{x}$, soit: $-e^x≤f(x)≤e^x$.
    Or, $\lim↙{x→-∞}e^x=0$ et $\lim↙{x→-∞}-e^x=0$.
    Donc, d'après le "théorème des gendarmes", on obtient: $\lim↙{x→-∞}f(x)=0$.
Réduire...

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