Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Géométrie vectorielle et analytique

Remarque: les définitions et propriétés relatives aux vecteurs du plan s'étendent à l'espace. En voici queques unes.

Propriétés

ABDC est un parallélogramme
si et seulement si
[AD] et [BC] ont même milieu.

fig1

ABDC est un parallélogramme
si et seulement si ${AB}↖{→}={CD}↖{→}$.

fig2

ABDC est un parallélogramme si et seulement si
D est l'image de C par la translation de vecteur ${AB}↖{→}$.

Règle du parallélogramme:
ABDC est un parallélogramme si et seulement si ${AB}↖{→}+{AC}↖{→}={AD}↖{→}$.

fig3

Propriétés

Relation de Chasles:
${AB}↖{→}+{BC}↖{→}={AC}↖{→}$.

fig4

Milieu et vecteurs opposés:
Le point I est le milieu de [AB] si et seulement si ${AI}↖{→}=-{BI}↖{→}$.

fig5
Exemple

ABCDS est une pyramide de sommet S dont la base ABCD est un parallélogramme.
Démontrer que ${SD}↖{→}+ {SB}↖{→}= {SC}↖{→}+ {SA}↖{→}$.

Solution...
Corrigé

ABCD est un parallélogramme, donc: ${AB}↖{→}= {DC}↖{→}$, et donc: ${AB}↖{→}+{CD}↖{→}={0}↖{→}$        (1).
${SD}↖{→}+ {SB}↖{→}={SC}↖{→}+ {CD}↖{→}+{SA}↖{→}+ {AB}↖{→}$ (Chasles)
D'où: ${SD}↖{→}+ {SB}↖{→}= {SC}↖{→}+ {SA}↖{→}+{0}↖{→}$ (d'après (1))
Soit: ${SD}↖{→}+ {SB}↖{→}= {SC}↖{→}+ {SA}↖{→}$.

Réduire...

Propriété

Soient A et B deux points non confondus.
M appartient à la droite (AB) si et seulement si il existe un nombre réel $k$ tel que ${AM}↖{→}=k{AB}↖{→}$.
${AB}↖{→}$ est un vecteur directeur de la droite (AB).

Soient A, B et C trois points non alignés.
M appartient au plan (ABC) si et seulement si il existe deux nombres réels $x$ et $y$ tels que ${AM}↖{→}=x{AB}↖{→}+y{AC}↖{→}$.
${AB}↖{→}$ et ${AC}↖{→}$ sont deux vecteurs directeurs du plan (ABC).

Remarque:
Une droite peut être définie:
par 2 points distincts,
ou: par un point et un vecteur directeur (nécessairement non nul).

Un plan peut être défini:
par 3 points non alignés,
ou: par un point et deux vecteurs directeurs (nécessairement non colinéaires).

Propriété

Deux droites sont parallèles
si et seulement si elles ont des vecteurs directeurs colinéaires.

Si deux plans ont le même couple de vecteurs directeurs,
alors ils sont parallèles.

Définition

${u}↖{→}$, ${v}↖{→}$ et ${w}↖{→}$ sont coplanaires
si et seulement si il existe des nombres réels $x$ et $y$ tels que ${w}↖{→}=x{u}↖{→}+y{v}↖{→}$.


Définition

Un point O et 3 trois vecteurs non coplanaires ${i}↖{→}$, ${j}↖{→}$ et ${k}↖{→}$ définissent un repère de l'espace, noté $(O,{i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$.

Propriété

Soient $(O,{i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$ un repère de l'espace.

Pour tout point M de l'espace, il existe un unique triplet $(x;y;z)$ de nombres réels tel que ${OM}↖{→}=x{i}↖{→}+y{j}↖{→}+z{k}↖{→}$.

$x$ est l'abscisse de M.
$y$ est l'ordonnée de M.
$z$ est la cote de M.

Pour tout vecteur ${v}↖{→}$, il existe un unique triplet $(x;y;z)$ de nombres réels tel que ${v}↖{→}=x{i}↖{→}+y{j}↖{→}+z{k}↖{→}$.

$x$ est l'abscisse de ${v}↖{→}$.
$y$ est l'ordonnée de ${v}↖{→}$.
$z$ est la cote de ${v}↖{→}$.

Remarque: les propriétés relatives aux coordonnées des points et des vecteurs du plan s'étendent à l'espace. En voici queques unes.

Propriété

L'espace est muni d'un repère $(O,{i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$.
Soit ${u}↖{→}(x\,;\,y\,;\,z)$ et ${v}↖{→}(x'\,;\,y'\,;\,z')$ deux vecteurs et $λ$ un réel.
alors: ${u}↖{→}+{v}↖{→}\,(x+x'\,;\,y+y'\,;\,z+z')$     et      $λ{u}↖{→}\,(λx\,;\,λy\,;\,λz)$.

Soit $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et $B(x_B\,;\,y_B\,;\,z_B)$ deux points de l'espace.
alors: $${AB}↖{→}\,(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)$$;

si $I(x_I;y_I;z_I)$ est le milieu de [AB],
alors: $x_I={x_A+x_B}/{2}$ , $y_I={y_A+y_B}/{2}$ et $z_I={z_A+z_B}/{2}$.

Exemple

L'espace est muni d'un repère $(O,{i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$.
A( 2 ; 0 ; 0 )     B( 0 ; 2,5 ; 0,5 )      C( 1 ; -2 ; 1 ).

  1. Montrer que ${AB}↖{→}$ et ${AC}↖{→}$ sont des vecteurs directeurs du plan (ABC).
  2. ABDC est un parallélogramme. Quelles sont les coordonnées de D?
  3. Quelles sont les coordonnées du milieu I de [AD]?
  4. Soit S( 0 ; 0 ; 3 ). Montrer que S n'est pas dans le plan (ABC).
  5. Faire une figure!
Solution...
Corrigé
  1. On a: ${AB}↖{→}(x_B-x_A\,;\,y_B-y_A\,;\,z_B-z_A)$, soit: ${AB}↖{→}$( -2 ; 2,5 ; 0,5 ).
    De même, on obtient: ${AC}↖{→}$( -1 ; -2 ; 1 ).
    Les coordonnées de ces vecteurs non nuls ne sont pas proportionnelles.
    Donc ces vecteurs ne sont pas colinéaires.
    Donc ${AB}↖{→}$ et ${AC}↖{→}$ sont des vecteurs directeurs du plan (ABC).
  2. ABDC est un parallélogramme $⇔$ ${AD}↖{→}={AB}↖{→}+{AC}↖{→}$.
    $⇔$ $x_D-x_A=x_{{AB}↖{→}}+x_{{AC}↖{→}}$      et      $y_D-y_A=y_{{AB}↖{→}}+y_{{AC}↖{→}}$      et      $z_D-z_A=z_{{AB}↖{→}}+z_{{AC}↖{→}}$.
    $⇔$ $x_D=2+(-2)+(-1)$      et      $y_D=0+2,5+(-2)$      et      $z_D=0+0,5+1$.
    Donc D( -1 ; 0,5 ; 1,5 ).
  3. Le milieu I de [AD] a pour coordonneés $x_I={x_A+x_D}/{2}$ , $y_I={y_A+y_D}/{2}$ et $z_I={z_A+z_D}/{2}$
    Soit:      $x_I={2+(-1)}/{2}$      ,       $y_I={0+0,5}/{2}$      et      $z_I={0+1,5}/{2}$.
    Donc I( 0,5 ; 0,25 ; 0,75 ).
  4. Raisonnons par l'absurde.
    Supposons que S appartienne au plan (ABC).
    Il existerait des réels $b$ et $c$ tels que ${AS}↖{→}=b{AB}↖{→}+c{AC}↖{→}$.
    Les coordonnées de ces vecteurs seraient égales, et on obtiendrait donc:
    $0-2=-2b-c$ et $0-0=2,5b-2c$ et $0-0=0,5b+c$.
    La dernière équation donne: $c=-0,5b$.
    La seconde donne alors: $0=2,5b-b$, soit $b=0$.
    Mais la première donne: $-2=-2b+0,5b$, soit $b={4}/{3}$.
    Les valeurs de $b$ sont différentes!
    Le système n'a pas de solution. C'est absurde!
    Et par là, S n'est pas dans le plan (ABC).
  5. Figure: fig6
Réduire...

Définition

L'espace est muni d'un repère $(O,{i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$.
La droite $d$ passant par le point $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$ et de vecteur directeur ${u}↖{→}$( a ; b ; c ) admet pour représentation paramétrique le système $\{\table x=x_A+ta; y=y_A+tb;z=z_A+tc$
où $t$ est le paramètre de cette représentation.

Exemple

L'espace est muni d'un repère $(O,{i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$.
A( 2 ; 3 ; 1 )     B( -1 ; 5 ; 7 )      C( 1 ; -2 ; 4 ).

  1. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).
  2. Le point C est-il sur (AB)?
  3. Le point E( $x_E$ ; $y_E$ ; 4 ) est sur (AB). Déterminer $x_E$ et $y_E$.
Solution...
Corrigé
  1. On obtient facilement: ${AB}↖{→}$( -3 ; 2 ; 6 ).
    (AB) passe par A( 2 ; 3 ; 1 ) et a pour vecteur directeur ${AB}↖{→}$( -3 ; 2 ; 6 ),
    donc elle admet pour représentation paramétrique $\{\table x=2-3t; y=3+2t;z=1+6t$

  2. C( 1 ; -2 ; 4 ) est sur (AB) si et seulement si
    il existe un réel $t$ tel que $\{\table 1=2-3t; -2=3+2t;4=1+6t$
    Or $\{\table 1=2-3t; -2=3+2t;4=1+6t$ $⇔$ $\{\table {-1}/{-3}=t; {-5}/{2}=t;{3}/{6}=t$ $⇔$ $\{\table {1}/{3}=t; -2\text","5=t;0\text","5=t$
    Les valeurs de $t$ sont différentes!
    Le système n'a pas de solution
    Et par là, C( 1 ; -2 ; 4 ) n'est pas sur (AB).

  3. E( $x_E$ ; $y_E$ ; 4 ) est sur (AB) si et seulement si
    il existe un réel $t$ tel que $\{\table x_E=2-3t; y_E=3+2t;4=1+6t$
    Or $\{\table x_E=2-3t; y_E=3+2t;4=1+6t$ $⇔$ $\{\table x_E=2-3t; y_E=3+2t;0\text","5=t$ $⇔$ $\{\table x_E=2-3 ×0\text","5=0\text","5; y_E=3+2 ×0\text","5=4;0\text","5=t$
    Donc E a pour coordonnées ( 0,5 ; 4 ; 4 ).
Réduire...

Définition

L'espace est muni d'un repère $(O,{i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$.
Le plan P passant par le point $A(x_A\,;\,y_A\,;\,z_A)$
et de vecteurs directeurs ${u}↖{→}$( a ; b ; c ) et ${v}↖{→}$( a' ; b' ; c' )
admet pour représentation paramétrique le système $\{\table x=x_A+ta+t'a'; y=y_A+tb+t'b';z=z_A+tc+t'c'$
où $t$ et $t'$ sont les paramètres de cette représentation.

Exemple

L'espace est muni d'un repère $(O,{i}↖{→},{j}↖{→},{k}↖{→})$.
A( 2 ; 3 ; 1 )     B( -1 ; 5 ; 7 )      C( 1 ; -2 ; 4 ).

  1. Déterminer une représentation paramétrique du plan (ABC).
  2. Le point E( 2 ; 4 ; 6 ) est-il sur (ABC)?
Solution...
Corrigé
  1. On obtient facilement: ${AB}↖{→}$( -3 ; 2 ; 6 ) et ${AC}↖{→}$( -1 ; -5 ; 3 ) .
    Ces vecteurs non nuls aux coordonnées non proportionnelles sont donc des vecteurs directeurs du plan (ABC), qui, par ailleurs passe par A.
    Donc (ABC) admet pour représentation paramétrique $\{\table x=2-3t-t'; y=3+2t-5t';z=1+6t+3t'$
    E( 2 ; 4 ; 6 ) est sur (ABC) si et seulement si
    il existe deux réels $t$ et $t'$ tels que $\{\table 2=2-3t-t'; 4=3+2t-5t';6=1+6t+3t'$
    Or $\{\table 2=2-3t-t'; 4=3+2t-5t';6=1+6t+3t'$ $⇔$ $\{\table t'=-3t; 1=2t-5×(-3t);5=6t+3×(-3t)$ $⇔$ $\{\table t'=-3t; {1}/{17}=t;{5}/{-3}=t$
    Les valeurs de $t$ sont différentes!
    Le système n'a pas de solution
    Et par là, E n'est pas sur (ABC).
Réduire...

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