Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Algorithmes

A SAVOIR: le cours sur les algorithmes

Exercice 6

Dans cet exercice, toute trace de recherche, même non aboutie, serait prise en compte lors de la notation

Une fonction $f$, continue et positive sur [0,2 ; 1], est représentée par la courbe $\C$ ci-dessous.
On considère les points $A_k(0,2k+0,2$ ; $0)$ et $B_k(0,2k+0,2$ ; $f(0,2k+0,2))$, pour $k$ variant de $0$ à $4$.
aire et longueurs
1.a. Soit $s$ l'aire du domaine limité par $\C$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=0,2$ et $x=1$.
On décide d'approcher $s$ par la somme des aires des trapèzes du type $A_kA_{k+1}B_{k+1}B_k$.
On considère un programme associé à l'algorithme ci-dessous.

$s$ ← $0$
Pour $k$ allant de ... à ...
    $s$ ← ...
Fin du Pour
Afficher ...

La fonction $f$ éventuellement citée dans l'algorithme est connue du programme.
Expliquer pourquoi un trapèze du type $A_kA_{k+1}B_{k+1}B_k$ admet pour aire: $(f(0,2k+0,2)+f(0,2k+0,4))×0,1$
Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus pour qu'il affiche une estimation de l'aire $s$.

1.b. On considère la fonction $f$ définie par $f(x)=(2x+x^2)e^x+0,5$ sur [0,2 ; 1].
Recopier et compléter le tableau de valeurs suivant:
tableau de valeurs
Les valeurs seront arrondies à 0,01 près.

1.c. Faire fonctionner l'algorithme pour la fonction $f$ ci-dessus.

2.a. Montrer que la fonction $g$, définie par $g(x)=x^2e^x+0,5x$ sur [0,2 ; 1], est une primitive de $f$.

2.b. Déterminer la valeur exacte de l'aire $s$.

3. On décide d'approcher la longueur de l'arc de la courbe $\C$ allant de $B_k$ à $B_{k+1}$ par la longueur du segment $[B_kB_{k+1}]$.
Ainsi, la longueur $l$ de la totalité de l'arc de la courbe $\C$ sur [0,2 ; 1] sera approchée par la somme des longueurs des segments du type $[B_kB_{k+1}]$.
Proposer un algorithme permettant d'estimer cette longueur $l$.


Solution...

Corrigé

1.a. On rappelle qu'un trapèze admet pour aire    ${base+Base}/{2}×hauteur$.
Un trapèze du type $A_kA_{k+1}B_{k+1}B_k$ admet pour aire: ${f(0,2k+0,2)+f(0,2(k+1)+0,2)}/{2}×0,2=(f(0,2k+0,2)+f(0,2k+0,4))×0,1$
D'où l'algorithme suivant:

$s$ ← $0$
Pour $k$ allant de 0 à 3
    $s$ ← $s+(f(0,2k+0,2)+f(0,2k+0,4))×0,1$
Fin du Pour
Afficher $s$

La dernière valeur de $k$ est bien 3; on a alors $k+1=4$.
Ne pas oublier le $s+...$ car, à chaque itération, $s$ augmente de l'aire d'un trapèze.


1.b. tableau de valeurs
Les valeurs sont arrondies à 0,01 près.

1.c. $s=0$
$k=0$ (première boucle) $s=0+(f(0,2)+f(0,4))×0,1≈0+(1,04+1,93)×0,1≈0,297$
$k=1$ (seconde boucle) $s≈0,297+(f(0,4)+f(0,6))×0,1≈0,297+(1,93+3,34)×0,1≈0,297+0,527≈0,824$
$k=2$ (troisième boucle) $s≈0,824+(f(0,6)+f(0,8))×0,1≈0,824+(3,34+5,49)×0,1≈0,824+0,883≈1,707$
$k=3$ (quatrième boucle) $s≈1,707+(f(0,8)+f(1))×0,1≈1,707+(5,49+8,65)×0,1≈1,707++1,414≈3,121$
(il n'y a pas de cinquième boucle)
Il s'affiche la valuer de $s$, c'est à dire environ 3,121

2.a. Pour tout $x$ de [0,2 ; 1], on a: $g'(x)=2xe^x+x^2e^x+0,5=(2x+x^2)e^x+0,5=f(x)$.
Donc $g'=f$ sur [0,2 ; 1], et par là, $g$ est une primitive de $f$.

2.b. La fonction $f$ étant continue et positive sur [0,2 ; 1], on en déduit que: $$s=∫_{0,2}^1 f(x)dx$$.
Donc: $s=g(1)-g(0,2)=e+0,5-(0,04e^{0,2}+0,1)=e-0,04e^{0,2}+0,4$.
Notons que l'on obtient $s≈3,069$. La valeur trouvée est légèrement inférieure à celle produite par l'algorithme.
Cela est conforme au graphique; en effet, le domaine des 4 trapèzes contient visiblement le domaine sous la courbe, car cette dernière est "convexe".


3. On rappelle qu'un segment $[AB]$ a pour longueur $√ {(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}$
Un segment du type $[B_kB_{k+1}]$ admet donc pour longueur: $√ {0,2^2+(f(0,2(k+1)+0,2)-f(0,2k+0,2))^2}$
D'où l'algorithme suivant:

$l$ ← $0$
Pour $k$ allant de 0 à 3
    $l$ ← $l+√ {0,2^2+(f(0,2(k+1)+0,2)-f(0,2k+0,2))^2}$
Fin du Pour
Afficher $l$

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