Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Nombres complexes

A SAVOIR: le cours sur les complexes

Exercice 1

Un exercice basique sur les formes algébriques et les équations.

Les questions 1, 2, 3 et 4 sont indépendantes.

1. Déterminer la forme algébrique de $a=(2-3i)^2(1+i)$ et celle de $b={2+i}/{1-i}$.

2. Résoudre dans $\ℂ$ l'équation suivante:
$z^2+z+1=0$.      (1).

3. Résoudre dans $\ℂ$ l'équation suivante:
$z^3-2z^2+2z=0$      (2).

4.a. Montrer que, pour tous nombres $a$ et $b$ réels, on a: $a^2-b^2-a+b=(a-b)(a+b-1)$
4.b. Résoudre dans $\ℂ$ l'équation suivante:
$z^2-(1+i)z+i=0$      (3).

Solution...
Corrigé

1. Clique ICI pour revoir le cours sur les formes algébriques.
$a=(2-3i)^2(1+i)=(2^2-2×2×3i+(3i)^2)(1+i)$
$a=(4-12i-9)(1+i)=4-12i-9+4i-12i^2-9i$
$a=4-12i-9+4i+12-9i$
$a=7-17i$

Nous utilisons le conjugué du dénominateur pour le rendre réel.
$b={(2+i)(1+i)}/{(1-i)(1+i)}={2+2i+i+i^2}/{1^2-i^2}$
$b={2+2i+i-1}/{1+1}={1+3i}/{2}$
$b={1}/{2}+{3}/{2}i$


2. Clique ICI pour revoir le cours sur les équations du second degré à coefficients réels.
Equation (1)
$z^2+z+1=0$ est un trinôme à coefficients réels.
Avec les notations usuelles:   $a=1$, $b=1$ et $c=1$.
$Δ=b^2-4ac=1-4=-3$.
$Δ\text"<"0$, donc l'équation a 2 solutions:
les complexes conjugués ${-b-i√{-Δ}}/{2a}={-1-i√{3}}/{2}=-{1}/{2}-{√{3}}/{2}i$      et        ${-b+i√{-Δ}}/{2a}=-{1}/{2}+{√{3}}/{2}i$.
Et par là: $\S_1=\{-{1}/{2}-{√{3}}/{2}i; -{1}/{2}+{√{3}}/{2}i\}$.



3. Clique ICI pour revoir le cours sur les équations du second degré à coefficients réels.
Equation (2)
On rappelle que, pour résoudre une équation, il suffit d'annuler l'un des ses membres (ce qui est fait), puis de factoriser l'autre membre (ce que nous allons faire).
(2) $⇔$ $z(z^2-2z+2)=0$ $⇔$ $z=0$ ou $z^2-2z+2=0$
$z^2-2z+2$ est un trinôme à coefficients réels.
Avec les notations usuelles:   $a=1$, $b=-2$ et $c=2$.
$Δ=4-8=-4$.
$Δ\text"<"0$, donc le trinôme a 2 racines complexes conjuguées:
${-b-i√{-Δ}}/{2a}={2-i√{4}}/{2}=1-i$      et        ${-b+i√{-Δ}}/{2a}=1+i$.
Finalement: (2) $⇔$ $z=0$ ou $z=1-i$ ou $z=1+i$
Et par là: $\S_2=\{0\,;\,1-i\,;\,1+i\}$.



4.a. Soient $a$ et $b$ réels. On a: $a^2-b^2-a+b=(a-b)(a+b)-(a-b)=(a-b)(a+b-1)$.

4.b. Clique ICI pour revoir le cours sur l'égalité de 2 complexes.
Equation (3)
Les coefficients du trinôme $z^2-(1+i)z+i$ ne sont pas tous réels.
On écrit $z$ sous forme algébrique: $z=a+ib$, avec $a$ et $b$ réels.
(3) $⇔$ $(a+ib)^2-(1+i)(a+ib)+i=0$ $⇔$ $a^2+2abi+b^2i^2-a-ib-ia-i^2b+i=0$
Soit: (3) $⇔$ $ a^2+2abi-b^2-a-ib-ia+b+i=0$ $⇔$ $a^2-b^2-a+b+i(2ab-b-a+1)=0$
Par unicité de la forme algébrique, on obtient:
(3) $⇔$ $\{\table a^2-b^2-a+b=0; 2ab-b-a+1=0$
On rappelle que, pour résoudre une équation, il suffit d'annuler l'un des ses membres (ce qui est fait), puis de factoriser l'autre membre (ce que nous allons faire en utilisant l'égalité du 4.a.).
(3) $⇔$ $\{\table (a-b)(a+b-1)=0; 2ab-b-a+1=0$

(3) $⇔$ $\{\table a-b=0 \text"       ou       " a+b-1=0; 2ab-b-a+1=0$

On exprime $a$ en fonction de $b$ dans les premières lignes, et on substitue dans les secondes.
Soit: (3) $⇔$ $\{\table a=b; 2b^2-b-b+1=0$    ou $\{\table a=1-b; -2(1-b)b-b-1+b+1=0$

Soit: (3) $⇔$ $\{\table a=b; 2b^2-2b+1=0$    ou $\{\table a=1-b; -2b+2b^2-b-1+b+1=0$

Soit: (3) $⇔$ $\{\table a=b; 2b^2-2b+1=0$    ou $\{\table a=1-b; 2b^2-2b=0$

Examinons le système de gauche.
Dans la seconde ligne, $2b^2-2b+1$ est un trinôme à coefficients réels.
$Δ=4-8=-4$.
$Δ\text"<"0$, donc le trinôme n'a pas de racine réelle.
On rappelle que l'on cherche $z$ sous la forme $a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.
Donc le système de gauche n'a pas de solution.

Examinons le système de droite.
Dans la seconde ligne: $2b^2-2b=0$ $⇔$ $2b(b-1)=0$ $⇔$ $b=0$ ou $b=1$
On reporte dans la première ligne:       $b=0$ donne $a=1$.          $b=1$ donne $a=0$.
Finalement: (3) $⇔$ $\{\table a=1; b=0$ ou $\{\table a=0; b=1$
Et par là: $\S_3=\{1; i\}$.

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