Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Nombres complexes

A SAVOIR: le cours sur les complexes

Exercice 2

Un exercice pour maîtriser les équations.

Résoudre dans $\ℂ$ chacune des équations suivantes, puis factoriser le membre de gauche correspondant.
$z^3+z^2-5z=0$      (1).
$3z^2+7=0$      (2).
$z^2+iz+3=0$      (3).


Solution...
Corrigé
Clique ICI pour revoir le cours sur les équations du second degré à coefficients réels.

Equation (1)
(1) $⇔$ $z(z^2+z-5)=0$ $⇔$ $z=0$ ou $z^2+z-5=0$.
$z^2+z-5$ est un trinôme à coefficients réels.
Avec les notations usuelles:$a=1$, $b=1$ et $c=-5$.
$Δ=b^2-4ac=1-(-20)=21$.
$Δ\text">"0$, donc le trinôme a 2 racines:
les réels ${-b-√Δ}/{2a}={-1-√{21}}/{2}$      et       ${-b+√Δ}/{2a}={-1+√{21}}/{2}$.
Donc: $\S_1=\{0;{-1-√{21}}/{2};{-1+√{21}}/{2}\}$.
On a alors: $z^3+z^2-5z=z(z-{-1-√{21}}/{2})(z-{-1+√{21}}/{2})=z(z+{1+√{21}}/{2})(z+{1-√{21}}/{2})$.

Equation (2)
$3z^2+7$ est un trinôme à coefficients réels.
Méthode 1: Avec les notations usuelles:$a=3$, $b=0$ et $c=7$.
$Δ=b^2-4ac=0-84=-84$.
$Δ\text"<"0$, donc l'équation a 2 solutions:
les complexes conjugués ${-b-i√{-Δ}}/{2a}={-i√{84}}/{6}={-i2√{21}}/{6}={-i√{21}}/{3}$      et        ${-b+i√{-Δ}}/{2a}={i√{21}}/{3}$.
Méthode 2: (2) $⇔$ $z={-7}/{3}$ $⇔$ $z={-i√{{7}/{3}$ ou $z={i√{{7}/{3}$.
Or: $√{{7}/{3}}=√{{21}/{9}}={√{21}}/{√{9}}={√{21}}/{3}$.
Donc, quelque soit la méthode, on obtient: $\S_2=\{{-i√{21}}/{3};{i√{21}}/{3}\}$.
On a alors: $3z^2+7=3(z-({-i√{21}}/{3}))(z-{i√{21}}/{3})=3(z+{i√{21}}/{3})(z-{i√{21}}/{3})$.

Clique ICI pour revoir le cours sur l'égalité de 2 complexes.
Equation (3)
Les coefficients du trinôme $z^2+iz+3$ ne sont pas tous réels.
On écrit $z$ sous forme algébrique: $z=a+ib$, avec $a$ et $b$ réels.
(3) $⇔$ $(a+ib)^2+i(a+ib)+3=0$ $⇔$ $a^2+2abi+b^2i^2+ai+bi^2+3=0$
Soit: (3) $⇔$ $ a^2+2abi-b^2+ai-b+3=0$ $⇔$ $a^2-b^2-b+3+i(2ab+a)=0$
Par unicité de la forme algébrique, on obtient:
(3) $⇔$ $\{\table a^2-b^2-b+3=0; 2ab+a=0$ $⇔$ $\{\table a^2-b^2-b+3=0; a(2b+1)=0$
Soit: (3) $⇔$ $\{\table a^2-b^2-b+3=0; a=0$ ou $\{\table a^2-b^2-b+3=0; b=-{1}/{2}$
Soit: (3) $⇔$ $\{\table -b^2-b+3=0; a=0$ ou $\{\table a^2-{1}/{4}+{1}/{2}+3=0; b=-{1}/{2}$ $⇔$ $\{\table -b^2-b+3=0; a=0$ ou $\{\table a^2+{13}/{4}=0; b=-{1}/{2}$
$-b^2-b+3$ est un trinôme à coefficients réels.
$Δ=1-(-12)=13$.
$Δ\text">"0$, donc le trinôme a 2 racines:
les réels ${1-√{13}}/{-2}$      et       ${1+√{13}}/{-2}$.
Par contre, le trinôme $a^2+{13}/{4}$ n'a pas de racine réelle.
On rappelle que l'on cherche $z$ sous la forme $a+ib$ avec $a$ et $b$ réels.
Finalement: (3) $⇔$ $\{\table b={-1+√{13}}/{2}; a=0$ ou $\{\table b={-1-√{13}}/{2}; a=0$
Et par là: $\S_3=\{{-1+√{13}}/{2}i; {-1-√{13}}/{2}i\}$.
On a alors: $z^2+iz+3=(z+{1-√{13}}/{2}i)(z+{1+√{13}}/{2}i)$

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