Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Nombres complexes

A SAVOIR: le cours sur les complexes

Exercice 3

Un exercice assez simple qui allie complexes et géométrie.

Dans le plan complexe muni du repère (O,I,J), on considère les points A, B, C, D et E d’affixes respectives
$a=2+2i$      $b=-√{3}+i$       $c=1+i√{3}$      $d=-1+(2+√{3}-2√{2})i$      $e=-1+(2+√{3})i$

1. Ecrire le produit $(√{3}+2)(-1-(2-√{3})i)$ sous forme algébrique.

2. Déterminer les affixes des vecteurs ${AB}↖{→}$, ${AC}↖{→}$, ${EB}↖{→}$, ${EC}↖{→}$ et ${ED}↖{→}$.

3. Les points A, B et C sont-ils alignés?

4. Les points B, C et D appartiennent-ils à un même cercle de centre E?


Solution...
Corrigé

1. Clique ICI pour revoir le cours sur les formes algébriques.
$(√{3}+2)(-1-(2-√{3})i)=-(√{3}+2)-(√{3}+2)(2-√{3})i=-√{3}-2-(4-3)i=-√{3}-2-i$.


2. Clique ICI pour revoir le cours sur l'affixe d'un vecteur.
${AB}↖{→}$ a pour affixe: $z_{{AB}↖{→}}=z_B-z_A=-√{3}+i-2-2i=-√{3}-2-i$
${AC}↖{→}$ a pour affixe: $z_{{AC}↖{→}}=z_C-z_A=1+i√{3}-2-2i=-1-(2-√{3})i$
${EB}↖{→}$ a pour affixe: $z_{{EB}↖{→}}=z_B-z_E=-√{3}+i+1-(2+√{3})i=-√{3}+1+(-1-√{3})i$
${EC}↖{→}$ a pour affixe: $z_{{EC}↖{→}}=z_C-z_E=1+i√{3}+1-(2+√{3})i=2+(-2)i$
${ED}↖{→}$ a pour affixe: $z_{{ED}↖{→}}=z_D-z_E=-1+(2+√{3}-2√{2})i+1-(2+√{3})i=-2√{2}i$


3. On a: $z_{{AC}↖{→}}=-1-(2-√{3})i$       et       $z_{{AB}↖{→}}=-√{3}-2-i$.
Donc, d'après le 1., on obtient: $(√{3}+2)z_{{AC}↖{→}}=z_{{AB}↖{→}}$
Donc: $(√{3}+2){AC}↖{→}={AB}↖{→}$.
Par conséquent, les vecteurs ${AB}↖{→}$ et ${AC}↖{→}$ étant colinéaires, les points A, B et C sont alignés.


4. Clique ICI pour revoir le cours sur le module d'un complexe.
On a: $z_{{EB}↖{→}}=-√{3}+1+(-1-√{3})i$
D'où: $EB^2=(-√{3}+1)^2+(-1-√{3})^2=3-2√{3}+1+1+3+2√{3}+1=8$.

On a: $z_{{EC}↖{→}}=2+(-2)i$
D'où: $EC^2=2^2+(-2)^2=8$.

On a: $z_{{ED}↖{→}}=-2√{2}i$
D'où: $ED^2=0^2+(-2√{2})^2=8$.

Finalement: $EB^2=EC^2=ED^2$, et par là les 3 distances (positives) EB, EC et ED sont égales.
Donc B, C et D appartiennent à un même cercle de centre E (de rayon $√8$).

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