Les Maths en série S

L'essentiel pour le bac

Nombres complexes

A SAVOIR: le cours sur les complexes

Exercice 4

Cet exercice, parfois subtil, utilise aussi le cours sur la dérivation et celui sur les limites de fonctions.

Partie A
Soit $f(x)={1}/{1-x}$, définie sur $]- ∞;1[∪]1;+ ∞[$.
Déterminer $f\,'$ et le signe de $f\,'$.
Déterminer $\lim↙{x→+∞}f(x)$, $\lim↙{{}^{x→1}_{x\text">"1}}f(x)$, $\lim↙{{}^{x→1}_{x\text"<"1}}f(x)$, $\lim↙{x→-∞}f(x)$.
Dresser le tableau de variation de $f$.
Quelles sont les valeurs prises par $f(x)$ lorsque $x$ décrit $]- ∞;1[∪]1;+ ∞[$?

Partie B
Dans le plan muni d'un repère orthonormé, déterminer l'ensemble des points M dont l'affixe $z$ est telle que $i+{1}/{z}$ soit imaginaire pur.


Solution...
Corrigé

Partie A
Clique ICI pour revoir le cours sur la dérivation.
Clique ICI pour revoir le cours sur les limites.
$f\,'(x)={-(-1)}/{(1-x)^2}={1}/{(x-1)^2}$.
Le dénominateur est un carré, il reste donc positif, et par là, $f\,'(x)$ également.
Donc $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]- ∞;1[$ et sur l'intervalle $]1;+ ∞[$.
Comme $\lim↙{x→+∞}1-x=-∞$, on obtient $\lim↙{x→+∞}f(x)=0$
De même, on obtient $\lim↙{x→-∞}f(x)=0$
Comme $\lim↙{{}^{x→1}_{x\text">"1}}1-x=0$ et comme $1-x\text"<"0$ lorsque $x\text">"1$, on obtient $\lim↙{{}^{x→1}_{x\text">"1}}f(x)=-∞$.
De même, on obtient $\lim↙{{}^{x→1}_{x\text"<"1}}f(x)=+∞$.
D'où le tableau de variation de $f$:
tableau de variation
Il est alors clair que les valeurs prises par $f(x)$ lorsque $x$ décrit $]- ∞;1[∪]1;+ ∞[$ sont tous les réels excepté 0.

Partie B
Remarquons tout d'abord que, comme ${1}/{z}$ intervient dans l'expression, $z$ est nécessairement non nul
Par ailleurs, un imaginaire pur s'écrit sous la forme $ki$, avec $k$ réel.
Donc: $i+{1}/{z}$ est imaginaire pur si et seulement si il existe un réel $k$ tel que $i+{1}/{z}=ki$      (1)
(1) $⇔$ ${1}/{z}=(k-1)i$
Notons ici que $k$ est différent de 1, sinon on obtiendrait ${1}/{z}=0$, ce qui est impossible.
(1) $⇔$ $z={1}/{(k-1)i}$
(1) $⇔$ $z={i}/{(k-1)i^2}={1}/{1-k}i$
Donc finalement, $i+{1}/{z}$ est imaginaire pur si et seulement si $z$ s'écrit sous la forme $z=f(k)i$, avec $f(k)={1}/{1-k}$.
Or $k$ peut prendre toutes les valeurs de l'ensemble $]- ∞;1[∪]1;+ ∞[$.
Donc, d'après la partie A, le nombre complexe $z$ s'écrit sous la forme $z=mi$, où $m$ décrit tous les réels excepté 0.
Donc l'ensemble cherché est l'axe des ordonnées privé de l'origine.

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